Resolva as integrais definidas
\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{x^{3}+9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{x^{3}+9}\,dx.
Dados relevantes:
  • A função integranda é \displaystyle \frac{x^{2}}{x^{3}+9}.
  • O intervalo de integração é [-1,1].
  • Observação útil: para x\in[-1,1] temos x^{3}+9\ge 8>0, então o denominador não zera no intervalo (a integranda é contínua em todo o intervalo).

Passo 2

Vou procurar uma primitiva. Uma estratégia padrão é observar se o numerador é proporcional à derivada do denominador — isso sugere uma substituição u= denomínio ou reconhecer a forma \frac{u'}{u} que integra para \ln|u|.
Calcule a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+9\bigr)=3x^{2}.
Logo o numerador x^{2} é \tfrac{1}{3} da derivada do denominador:
x^{2}=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+9\bigr).
Isso indica que podemos fazer a substituição u=x^{3}+9 (ou simplesmente reconhecer que a primitiva é \tfrac{1}{3}\ln|x^{3}+9|).

Passo 3

Faço a substituição formalmente. Seja u=x^{3}+9. Então
du=3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\,du.
Os limites mudam para
u(-1)=(-1)^{3}+9=8,\qquad u(1)=1^{3}+9=10.
A integral torna-se
\int_{-1}^{1}\frac{x^{2}}{x^{3}+9}\,dx=\frac{1}{3}\int_{8}^{10}\frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Integro \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du=\ln\lvert u\rvert. Assim
\frac{1}{3}\int_{8}^{10}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{3}\Big[\ln\lvert u\rvert\Big]_{8}^{10}.
No nosso caso u>0 no intervalo, então podemos remover as barras de valor absoluto:
\frac{1}{3}\bigl(\ln 10-\ln 8\bigr).

Passo 5

Simplifico a diferença de logaritmos usando \ln a-\ln b=\ln\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr):
\frac{1}{3}\bigl(\ln 10-\ln 8\bigr)=\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{10}{8}\right)=\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{5}{4}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{5}{4}\right)

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