Resolva as integrais definidas
\int_{0}^{4}\left(x^{2}-3 x+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx.
Informações dadas: o integrando é o polinômio \;x^{2}-3x+2\; e os limites de integração são 0 (inferior) e 4 (superior). A pergunta é: qual o valor numérico da integral definida?

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas essenciais que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
e
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante.
  1. Regra da potência (anti-derivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui C é a constante de integração (que não aparece na integral definida após avaliarmos nos limites).
Essas regras servem para integrar polinômios termo a termo, como fazemos em provas sem mistério.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao integrando:
\int_{0}^{4}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx = \int_{0}^{4} x^{2}\,dx - 3\int_{0}^{4} x\,dx + 2\int_{0}^{4} 1\,dx.
Agora usamos a regra da potência em cada termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x.
Portanto uma primitiva (antiderivada) do integrando é
F(x)=\frac{x^{3}}{3} - 3\cdot\frac{x^{2}}{2} + 2x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(4)-F(0). Vamos calcular F(4) e F(0) passo a passo.
Calcule F(4):
F(4)=\frac{4^{3}}{3} - \frac{3\cdot 4^{2}}{2} + 2\cdot 4.
Agora os números:
\frac{4^{3}}{3} = \frac{64}{3},\qquad \frac{3\cdot 4^{2}}{2} = \frac{3\cdot 16}{2} = \frac{48}{2} = 24,\qquad 2\cdot 4 = 8.
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F(4)=\frac{64}{3} - 24 + 8.
Calcule F(0):
F(0)=\frac{0^{3}}{3} - \frac{3\cdot 0^{2}}{2} + 2\cdot 0 = 0.

Passo 5

Agora simplificamos F(4)-F(0):
F(4)-F(0)=\left(\frac{64}{3} - 24 + 8\right) - 0 = \frac{64}{3} - 16.
Para somar racionalmente, escrevemos -16 com denominador 3:
-16 = -\frac{48}{3},
então
\frac{64}{3} - 16 = \frac{64}{3} - \frac{48}{3} = \frac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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