Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
y^{2}=2 x, \quad x^{2}=2 y

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área das regiões limitadas pelas curvas y^{2}=2x e x^{2}=2y.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Curva A: y^{2}=2x.
  • Curva B: x^{2}=2y.
    Pergunta que vou responder: qual é a área da região finita limitada por essas duas curvas?

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas (esses serão os limites da integração). Para isso, uso a expressão de x em função de y da primeira curva: a partir de y^{2}=2x obtemos
x=\frac{y^{2}}{2}.
Substituo esse x na segunda curva x^{2}=2y:
\left(\frac{y^{2}}{2}\right)^{2}=2y.
Agora desenvolvo essa equação passo a passo:
\frac{y^{4}}{4}=2y.
Multiplico ambos os lados por 4:
y^{4}=8y.
Coloco todos os termos num só lado:
y^{4}-8y=0.
Fatoro y:
y\left(y^{3}-8\right)=0.
Logo as soluções são y=0 ou y^{3}=8. Da segunda vem y=2. Substituindo em x=\dfrac{y^{2}}{2} obtemos os pontos:
  • Para y=0: x=0 → ponto (0,0).
  • Para y=2: x=\dfrac{2^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=2 → ponto (2,2).

Passo 3

Decido a estratégia de integração e explico por que: é geralmente mais simples integrar em relação a y quando as duas curvas podem ser escritas como x= função de y, porque a área entre curvas é dada pela integral da diferença entre a função mais à direita e a mais à esquerda, em função de y.
Vou verificar qual curva é mais à direita para y entre 0 e 2.
Escrevo as duas curvas em forma x= função de y:
  • Da curva y^{2}=2x: x=\dfrac{y^{2}}{2}.
  • Da curva x^{2}=2y: como estamos na região com y\ge0 e x\ge0, tomo x=\sqrt{2y}.
Testando em y=1: \dfrac{1^{2}}{2}=0{,}5 e \sqrt{2\cdot1}=\sqrt{2}\approx1{,}414. Portanto x=\sqrt{2y} está à direita de x=\dfrac{y^{2}}{2} no intervalo [0,2]. Assim a área procurada é
\text{Área}=\int_{y=0}^{y=2}\Big(\text{direita} - \text{esquerda}\Big)\,dy =\int_{0}^{2}\left(\sqrt{2y}-\frac{y^{2}}{2}\right)dy.Á
Explico a fórmula: a integral de x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} ao longo de y soma, por fatias horizontais, a largura de cada fatia multiplicada pela espessura dy, dando a área total.

Passo 4

Transformo o integrando em potências para integrar mais facilmente. Note que
\sqrt{2y}=(2y)^{1/2}=\sqrt{2}\,y^{1/2}.
Portanto a integral fica
\text{Área}=\int_{0}^{2}\left(\sqrt{2}\,y^{1/2}-\frac{1}{2}y^{2}\right)dy.Á
Vou integrar termo a termo. Lembrete da regra de integração (regra da potência): para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Também uso que constantes saem da integral.

Passo 5

Calculo a integral da primeira parcela \int_{0}^{2}\sqrt{2}\,y^{1/2}\,dy. Puxo a constante \sqrt{2} para fora:
\sqrt{2}\int_{0}^{2}y^{1/2}\,dy.
Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\int y^{1/2}\,dy=\frac{y^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{y^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}y^{3/2}.
Multiplicando pela constante \sqrt{2} obtemos:
\sqrt{2}\cdot\frac{2}{3}y^{3/2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}.
Vou avaliar esse termo entre 0 e 2 mais adiante.

Passo 6

Calculo a integral da segunda parcela \int_{0}^{2}\frac{1}{2}y^{2}\,dy. Puxo a constante \tfrac{1}{2} para fora:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y^{2}\,dy.
Aplicando a regra da potência com n=2:
\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}.
Multiplicando pela constante:
\frac{1}{2}\cdot\frac{y^{3}}{3}=\frac{y^{3}}{6}.
Também vou avaliar isso entre 0 e 2.

Passo 7

Agora avalio as antiderivadas nos limites 0 e 2.
Para o primeiro termo:
\frac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}\Big|_{0}^{2}.
Calculo y^{3/2} em y=2: 2^{3/2}=2\sqrt{2}. Então
\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{4(\sqrt{2}\sqrt{2})}{3}=\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}.
No limite inferior y=0 esse termo vale 0.
Para o segundo termo:
\frac{y^{3}}{6}\Big|_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{6}-0=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

Passo 8

Subtraio o segundo resultado do primeiro, conforme a integral definida:
\text{Área}=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}.Á
Interpretação: a área da região limitada pelas duas parábolas entre (0,0) e (2,2) é \dfrac{4}{3} unidades de área.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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