Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas y^{2}=2 x, \quad x^{2}=2 y
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área das regiões limitadas pelas curvas y^{2}=2x e x^{2}=2y.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
Curva A: y^{2}=2x.
Curva B: x^{2}=2y.
Pergunta que vou responder: qual é a área da região finita limitada por essas duas curvas?
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas (esses serão os limites da integração). Para isso, uso a expressão de x em função de y da primeira curva: a partir de y^{2}=2x obtemos
x=\frac{y^{2}}{2}.
Substituo esse x na segunda curva x^{2}=2y:
\left(\frac{y^{2}}{2}\right)^{2}=2y.
Agora desenvolvo essa equação passo a passo:
\frac{y^{4}}{4}=2y.
Multiplico ambos os lados por 4:
y^{4}=8y.
Coloco todos os termos num só lado:
y^{4}-8y=0.
Fatoro y:
y\left(y^{3}-8\right)=0.
Logo as soluções são y=0 ou y^{3}=8. Da segunda vem y=2. Substituindo em x=\dfrac{y^{2}}{2} obtemos os pontos:
Para y=0: x=0 → ponto (0,0).
Para y=2: x=\dfrac{2^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=2 → ponto (2,2).
Passo 3
Decido a estratégia de integração e explico por que: é geralmente mais simples integrar em relação a y quando as duas curvas podem ser escritas como x= função de y, porque a área entre curvas é dada pela integral da diferença entre a função mais à direita e a mais à esquerda, em função de y.
Vou verificar qual curva é mais à direita para y entre 0 e 2.
Escrevo as duas curvas em forma x= função de y:
Da curva y^{2}=2x: x=\dfrac{y^{2}}{2}.
Da curva x^{2}=2y: como estamos na região com y\ge0 e x\ge0, tomo x=\sqrt{2y}.
Testando em y=1: \dfrac{1^{2}}{2}=0{,}5 e \sqrt{2\cdot1}=\sqrt{2}\approx1{,}414. Portanto x=\sqrt{2y} está à direita de x=\dfrac{y^{2}}{2} no intervalo [0,2]. Assim a área procurada é
Explico a fórmula: a integral de x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} ao longo de y soma, por fatias horizontais, a largura de cada fatia multiplicada pela espessura dy, dando a área total.
Passo 4
Transformo o integrando em potências para integrar mais facilmente. Note que