Resolva as integrais definidas pelo método da substiuição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
.
Informações dadas: o integrando é e os limites de integração são
e
.
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida.
Informações dadas: o integrando é
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o integrando usando a propriedade distributiva. Multiplicamos
por cada termo dentro do parêntese:
Portanto a integral fica
Explicar: isso é permitido porque a integral de uma soma é a soma das integrais.
Passo 3
Vamos resolver a integral termo a termo usando o método da substituição em cada caso (a ideia da substituição é trocar a variável por outra que torne a integração mais direta). Aqui cada termo é um monômio, e podemos usar substituições simples que reduzem ao caso básico da integral de
ou de uma diferencial
.
Passo 4
Integramos o primeiro termo
por substituição simples. Fazemos a substituição
então
A integral transforma-se em
Agora usamos a regra de potência para integrar
: a primitiva de
é
. Voltando à variável
temos
Explicação didática: a regra de potência diz que
para
. Aqui
.
Passo 5
Integramos o segundo termo
usando uma substituição que torne explícito o diferencial de uma potência: seja
Então
Substituindo na integral:
Voltando à variável
:
Comentário: esta é uma aplicação direta da substituição para aproveitar que a derivada de
é
.
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos, uma primitiva
da função
é
Isto significa que
onde
é a constante de integração (para integral indefinida). Para a integral definida usamos diretamente
.
Passo 7
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo: avaliamos
nos limites
e
e subtraímos:
Passo 8
Calculemos
e
passo a passo.
Para
:
Logo
Para
:
Logo
Passo 9
Subtraindo:
Colocando no mesmo denominador
:
então