Resolva as integrais definidas pelo método da substiuição:
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{-1}^{2} x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx.
Informações dadas: o integrando é x\bigl(1+x^{3}\bigr) e os limites de integração são x=-1 e x=2.
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando usando a propriedade distributiva. Multiplicamos x por cada termo dentro do parêntese:
x\bigl(1+x^{3}\bigr)=x + x^{4}.
Portanto a integral fica
\int_{-1}^{2} x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx = \int_{-1}^{2} \bigl(x + x^{4}\bigr)\,dx.
Explicar: isso é permitido porque a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 3

Vamos resolver a integral termo a termo usando o método da substituição em cada caso (a ideia da substituição é trocar a variável por outra que torne a integração mais direta). Aqui cada termo é um monômio, e podemos usar substituições simples que reduzem ao caso básico da integral de u ou de uma diferencial du.

Passo 4

Integramos o primeiro termo \int x\,dx por substituição simples. Fazemos a substituição
u = x,
então
du = dx.
A integral transforma-se em
\int x\,dx = \int u\,du.
Agora usamos a regra de potência para integrar \int u\,du: a primitiva de u é \dfrac{u^{2}}{2}. Voltando à variável x temos
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Explicação didática: a regra de potência diz que \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=1.

Passo 5

Integramos o segundo termo \int x^{4}\,dx usando uma substituição que torne explícito o diferencial de uma potência: seja
v = x^{5}.
Então
dv = 5x^{4}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{4}\,dx = \frac{dv}{5}.
Substituindo na integral:
\int x^{4}\,dx = \int \frac{dv}{5} = \frac{1}{5}\int dv = \frac{v}{5}.
Voltando à variável x:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Comentário: esta é uma aplicação direta da substituição para aproveitar que a derivada de x^{5} é 5x^{4}.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos, uma primitiva F(x) da função x + x^{4} é
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5}.
Isto significa que
\int \bigl(x + x^{4}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5} + C,
onde C é a constante de integração (para integral indefinida). Para a integral definida usamos diretamente F.

Passo 7

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo: avaliamos F nos limites x=2 e x=-1 e subtraímos:
\int_{-1}^{2} \bigl(x + x^{4}\bigr)\,dx = F(2)-F(-1).

Passo 8

Calculemos F(2) e F(-1) passo a passo.
Para x=2:
\frac{2^{2}}{2} = \frac{4}{2}=2,
\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
Logo
F(2)=2+\frac{32}{5}=\frac{10}{5}+\frac{32}{5}=\frac{42}{5}.
Para x=-1:
\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2},
\frac{(-1)^{5}}{5}=\frac{-1}{5}.
Logo
F(-1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}.

Passo 9

Subtraindo:
F(2)-F(-1)=\frac{42}{5}-\frac{3}{10}.
Colocando no mesmo denominador 10:
\frac{42}{5}=\frac{84}{10},
então
\frac{84}{10}-\frac{3}{10}=\frac{81}{10}.

Resposta

\dfrac{81}{10}

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