Resolva pelo método das frações parciais:
Passo 1
Enunciado: calcular a integral pelo método das frações parciais
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é uma função racional, quociente de dois polinômios: numerador
e denominador . - O denominador pode ser fatorado porque é uma diferença de quadrados:
. - O grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador ( ), então não precisamos fazer divisão polinomial antes da decomposição em frações parciais. - A questão pede explicitamente usar o método das frações parciais.
Passo 2
Ideia do método e decomposição: quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, podemos escrever a função racional como soma de frações simples. Aqui, como
e
são fatores lineares distintos, postulamos
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar. Explicando:
e
são números (constantes) tais que, para todo
distinto de
, a igualdade acima vale. Depois de achar
e
, cada termo tem forma
cuja integral é um logarítmo.
Passo 3
Determinar
Agora expandimos o lado direito:
Igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante) obtemos o sistema:
Resolva o sistema: da segunda equação divido ambos os lados por
:
Com
e
temos
Passo 4
Reescrevendo a integral com a decomposição encontrada:
Portanto
Propriedade usada: integral de soma é soma das integrais, e constantes podem sair da integral.
Passo 5
Saber integrar cada termo: regra básica usada — para qualquer constante
e qualquer constante
,
pois
. Aplicando aqui,
Somando,
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): deriva o resultado para checar se volta ao integrando. Derivando
fazendo denominador comum
obtemos
, que é exatamente o integrando. Tudo confere.