Resolva pelo método das frações parciais:
\int \frac{x+3}{x^{2}-36} d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral pelo método das frações parciais
\int \frac{x+3}{x^{2}-36}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é uma função racional, quociente de dois polinômios: numerador \;x+3\; e denominador \;x^{2}-36\;.
  • O denominador pode ser fatorado porque é uma diferença de quadrados: \;x^{2}-36=(x-6)(x+6)\;.
  • O grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2), então não precisamos fazer divisão polinomial antes da decomposição em frações parciais.
  • A questão pede explicitamente usar o método das frações parciais.

Passo 2

Ideia do método e decomposição: quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, podemos escrever a função racional como soma de frações simples. Aqui, como (x-6) e (x+6) são fatores lineares distintos, postulamos
\frac{x+3}{(x-6)(x+6)}=\frac{A}{x-6}+\frac{B}{x+6},
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar. Explicando: A e B são números (constantes) tais que, para todo x distinto de \pm6, a igualdade acima vale. Depois de achar A e B, cada termo tem forma \frac{\text{constante}}{x-a} cuja integral é um logarítmo.

Passo 3

Determinar A\) e \(B\). Multiplicamos ambos os lados por \((x-6)(x+6)\) para eliminar denominadores: \[x+3 = A(x+6)+B(x-6).
Agora expandimos o lado direito:
A(x+6)+B(x-6)=Ax+6A+Bx-6B=(A+B)x+(6A-6B).
Igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e termo constante) obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 6A-6B=3. \end{cases}
Resolva o sistema: da segunda equação divido ambos os lados por 6\]: \[A-B=\tfrac{1}{2}.\] Agora somo com a primeira equação \(A+B=1:
\begin{aligned} (A+B)+(A-B)&=1+\tfrac{1}{2}\\\\ 2A&=\tfrac{3}{2}\\\ A&=\tfrac{3}{4}. \end{aligned}
Com A=\tfrac{3}{4} e A+B=1 temos
B=1-A=1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.]

Passo 4

Reescrevendo a integral com a decomposição encontrada:
\frac{x+3}{x^{2}-36}=\frac{3/4}{x-6}+\frac{1/4}{x+6}.
Portanto
\int \frac{x+3}{x^{2}-36}\,dx=\int \left(\frac{3/4}{x-6}+\frac{1/4}{x+6}\right)\,dx.
Propriedade usada: integral de soma é soma das integrais, e constantes podem sair da integral.

Passo 5

Saber integrar cada termo: regra básica usada — para qualquer constante k e qualquer constante a,
\int \frac{k}{x-a}\,dx = k\int \frac{1}{x-a}\,dx = k\ln|x-a|+C,
pois \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}. Aplicando aqui,
\int \frac{3/4}{x-6}\,dx = \tfrac{3}{4}\ln|x-6|,\qquad \int \frac{1/4}{x+6}\,dx = \tfrac{1}{4}\ln|x+6|.
Somando,
\int \frac{x+3}{x^{2}-36}\,dx = \tfrac{3}{4}\ln|x-6|+\tfrac{1}{4}\ln|x+6|+C.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): deriva o resultado para checar se volta ao integrando. Derivando
\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{3}{4}\ln|x-6|+\tfrac{1}{4}\ln|x+6|\right)=\tfrac{3}{4}\cdot\frac{1}{x-6}+\tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+6},
fazendo denominador comum (x-6)(x+6) obtemos \dfrac{x+3}{x^{2}-36}, que é exatamente o integrando. Tudo confere.

Resposta

\tfrac{3}{4}\ln|x-6|+\tfrac{1}{4}\ln|x+6|+C

Exercícios relacionados