Calcule pelo método de integração por partes:
Passo 1
Enunciado (interpretação que vou usar): calcular
.
Informações dadas: integrando é a função e a variável de integração é
.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de , ou seja, uma função
tal que
.
Informações dadas: integrando é a função
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de
Passo 2
Apresentando a ferramenta (integração por partes) de forma clara e motivada.
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
Explicando cada termo:
é uma função de
que escolhemos,
é outra parte do integrando que escolhemos para ser integrada;
é a derivada de
em relação a
(ou seja,
) e
é uma primitiva de
(ou seja,
).
Por que isso funciona (intuição curta): é a regra do produto «ao contrário» — derivando obtemos
; integrando ambos os lados e rearranjando chega-se à fórmula.
Por que isso funciona (intuição curta): é a regra do produto «ao contrário» — derivando
Passo 3
Escolha das partes para aplicar a fórmula. Uma escolha natural aqui é tomar
Justificativa:
complica a diferenciação/integral, então a ideia é derivá-la (pois sua derivada é simples);
é fácil de integrar.
Agora calculamos
e
.
Derivada de :
Derivada de
pois
e
. Logo
Primitiva de
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o integrando da segunda parcela (
):
Passo 5
Calculando a integral restante e escrevendo a primitiva final:
portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (para você aprender a checar no prova): derivando o resultado deve aparecer o integrando. Derivada de
:
confere.
Passo 7
Observação alternativa (útil para a prova): podemos também usar a propriedade
e integrar separadamente:
Aplicando integração por partes em
obtemos
, e juntando os termos volta-se a
mostrando que os caminhos são equivalentes.