Calcule pelo método de integração por partes:
\int \ln 5 x d x

Passo 1

Enunciado (interpretação que vou usar): calcular \displaystyle \int \ln(5x)\,dx.
Informações dadas: integrando é a função \ln(5x) e a variável de integração é x.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de \ln(5x), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\ln(5x).

Passo 2

Apresentando a ferramenta (integração por partes) de forma clara e motivada.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando cada termo: u é uma função de x que escolhemos, dv é outra parte do integrando que escolhemos para ser integrada; du é a derivada de u em relação a x (ou seja, du = u'(x)\,dx) e v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx).
Por que isso funciona (intuição curta): é a regra do produto «ao contrário» — derivando uv obtemos u'v+uv'; integrando ambos os lados e rearranjando chega-se à fórmula.

Passo 3

Escolha das partes para aplicar a fórmula. Uma escolha natural aqui é tomar
u = \ln(5x),\qquad dv = dx.
Justificativa: \ln(5x) complica a diferenciação/integral, então a ideia é derivá-la (pois sua derivada é simples); dx é fácil de integrar.
Agora calculamos du e v.
Derivada de u:
\frac{d}{dx}\ln(5x)=\frac{1}{x},
pois \ln(5x)=\ln 5+\ln x e \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}. Logo
du = \frac{1}{x}\,dx.
Primitiva de dv:
v=\int dv=\int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln(5x)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \ln(5x)\,dx = x\cdot \ln(5x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando da segunda parcela ( x\cdot\frac{1}{x}=1):
\int \ln(5x)\,dx = x\ln(5x) - \int 1\,dx.

Passo 5

Calculando a integral restante e escrevendo a primitiva final:
\int 1\,dx = x,
portanto
\int \ln(5x)\,dx = x\ln(5x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (para você aprender a checar no prova): derivando o resultado deve aparecer o integrando. Derivada de x\ln(5x)-x:
\frac{d}{dx}\big(x\ln(5x)-x\big)=\ln(5x) + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln(5x)+1-1=\ln(5x),
confere.

Passo 7

Observação alternativa (útil para a prova): podemos também usar a propriedade \ln(5x)=\ln 5+\ln x e integrar separadamente:
\int \ln(5x)\,dx = \int (\ln 5 + \ln x)\,dx = (\ln 5)\,x + \int \ln x\,dx.
Aplicando integração por partes em \int\ln x\,dx obtemos \,x\ln x - x, e juntando os termos volta-se a
x\ln(5x) - x + C,
mostrando que os caminhos são equivalentes.

Resposta

x\ln(5x)-x+C

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