Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{1+x}{9+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1+x}{9+4x^2}\,dx
usando substituição de variáveis. Vamos perceber que dá para separar essa fração em duas parcelas cujas integrais são conhecidas: uma que leva a um arco-tangente e outra a um logaritmo.

Passo 2

Separamos a integral em
\int \frac{1+x}{9+4x^2}\,dx = \int \frac{1}{9+4x^2}\,dx \;+\;\int \frac{x}{9+4x^2}\,dx.
Denotemos
I_1 = \int \frac{1}{9+4x^2}\,dx \quad\text{e}\quad I_2 = \int \frac{x}{9+4x^2}\,dx.

Passo 3

Para I_1, fazemos a substituição
u = 2x, \quad du = 2\,dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{du}{2}.
Como 9+4x^2 = 9 + u^2, temos
I_1 = \int \frac{1}{u^2+3^2}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+3^2}.

Passo 4

Sabendo que
\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr),
com a=3 obtemos
I_1 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{3}\bigr) = \frac{1}{6}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr).

Passo 5

Para I_2, fazemos a substituição
v = 9 + 4x^2, \quad dv = 8x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{dv}{8}.
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I_2 = \int \frac{x}{9+4x^2}\,dx = \int \frac{1}{v}\,\frac{dv}{8} = \frac{1}{8}\int \frac{dv}{v} = \frac{1}{8}\ln\bigl|v\bigr| = \frac{1}{8}\ln\bigl(9+4x^2\bigr).

Passo 6

Somando I_1 e I_2 e incluindo a constante de integração C, a antiderivada é
\int \frac{1+x}{9+4x^2}\,dx = \frac{1}{6}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr) + \frac{1}{8}\ln\bigl(9+4x^2\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{1+x}{9+4x^2}\,dx = \frac{1}{6}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr) + \frac{1}{8}\ln\bigl(9+4x^2\bigr) + C.

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