Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \sqrt{x} \cdot \operatorname{sen}\left(1+x^{\frac{3}{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\bigl(1 + x^{3/2}\bigr)\,dx
usando o método de substituição de variáveis. O conteúdo aqui é “integração por substituição”.

Passo 2

Definimos uma nova variável
u = 1 + x^{3/2}.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = \frac{3}{2}\,x^{1/2}\,dx.

Passo 3

Isolando x^{1/2}dx em função de du, vem
x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,du.
Assim, a integral original transforma-se em
\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\bigl(1 + x^{3/2}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{2}{3}\,du.

Passo 4

Agora é só integrar em u:
\frac{2}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\frac{2}{3}\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando para a variável x, substituímos u = 1 + x^{3/2}:
-\frac{2}{3}\cos\bigl(1 + x^{3/2}\bigr) + C.

Resposta

-\frac{2}{3}\cos\bigl(1 + x^{3/2}\bigr) + C.

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