Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int e^{2 x} \cos \left(e^{2 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{2x}\cos\bigl(e^{2x}\bigr)\,dx
usando substituição de variáveis. Aqui o conteúdo é reconhecer uma composição \cos(e^{2x}) cujo interior tem derivada proporcional ao fator externo e^{2x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{2x}.
Então
\frac{du}{dx} = 2e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int e^{2x}\cos\bigl(e^{2x}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, obtemos
\frac{1}{2}\sin\bigl(e^{2x}\bigr) + C.

Resposta

\int e^{2x}\cos\bigl(e^{2x}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\sin\bigl(e^{2x}\bigr) + C.

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