Resolva as integrais indefinidas abaixo, utilizando o método de decomposição em frações parciais:
\int \frac{1}{(x-4)(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{(x-4)(x+1)}\,dx
usando o método de decomposição em frações parciais. Precisamos expressar a função racional como soma de duas frações simples e depois integrar cada uma usando a regra
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\bigl|x-a\bigr|+C.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
\frac{1}{(x-4)(x+1)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+1}.
Em seguida, igualamos numeradores sobre o mesmo denominador:

Passo 3

1 = A(x+1) + B(x-4).
Para achar A e B, escolhemos valores convenientes de x:
  • Se x=4, então 1 = A(4+1) + B\cdot0, logo A=\tfrac{1}{5}.
  • Se x=-1, então 1 = A\cdot0 + B(-1-4), logo 1 = -5B e B=-\tfrac{1}{5}.

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição, temos
\frac{1}{(x-4)(x+1)} = \frac{1/5}{x-4} - \frac{1/5}{x+1} = \frac{1}{5}\,\frac{1}{x-4} - \frac{1}{5}\,\frac{1}{x+1}.
Logo a integral separa-se assim:
\int \frac{1}{(x-4)(x+1)}\,dx = \frac{1}{5}\int \frac{1}{x-4}\,dx - \frac{1}{5}\int \frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 5

Aplicando a fórmula \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a|+C, obtemos
\frac{1}{5}\ln\bigl|x-4\bigr| - \frac{1}{5}\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{(x-4)(x+1)}\,dx = \frac{1}{5}\ln\bigl|x-4\bigr| - \frac{1}{5}\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Exercícios relacionados