Resolva as integrais indefinidas abaixo, utilizando o método de substituição trigonométrica:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-25 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-25x^{2}}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição \displaystyle x=\frac{3}{5}\sin\theta, pois assim o radical fica expressão de \cos\theta.

Passo 2

Com x=\frac{3}{5}\sin\theta temos
dx = \frac{3}{5}\cos\theta\,d\theta,
\sqrt{9-25x^{2}} = \sqrt{9 - 25\Bigl(\frac{3}{5}\sin\theta\Bigr)^{2}} = \sqrt{9(1-\sin^{2}\theta)} =3\cos\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-25x^{2}}}\,dx = \int \frac{\bigl(\frac{3}{5}\sin\theta\bigr)^{2}}{3\cos\theta} \;\Bigl(\frac{3}{5}\cos\theta\,d\theta\Bigr) = \frac{9}{125}\int \sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Para integrar \sin^{2}\theta usamos a identidade \sin^{2}\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2} ou diretamente \displaystyle \int \sin^{2}\theta\,d\theta =\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{2}.
Logo
\frac{9}{125}\int \sin^{2}\theta\,d\theta = \frac{9}{125}\cdot\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{2} = \frac{9}{250}\,\bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\bigr)+C.

Passo 4

Volta à variável x:
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{5x}{3}\bigr), \quad \sin\theta = \tfrac{5x}{3}, \quad \cos\theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \frac{\sqrt{9-25x^{2}}}{3}.
Substituindo:
\frac{9}{250}\Bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\Bigr) = \frac{9}{250}\arcsin\!\Bigl(\tfrac{5x}{3}\Bigr) - \frac{9}{250}\cdot\frac{5x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-25x^{2}}}{3} + C.

Passo 5

Simplificando o segundo termo:
\frac{9}{250}\cdot\frac{5x}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{5x}{250} = \frac{x}{50}.
Portanto a primitiva final é
\frac{9}{250}\arcsin\!\Bigl(\tfrac{5x}{3}\Bigr) - \frac{x\sqrt{9-25x^{2}}}{50} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-25x^{2}}}\,dx = \frac{9}{250}\arcsin\!\Bigl(\frac{5x}{3}\Bigr) - \frac{x\sqrt{9-25x^{2}}}{50} + C }.

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