Resolva as integrais indefinidas abaixo, utilizando o método de decomposição em frações parciais:
\int \frac{5 x-2}{x^{2}-4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5x-2}{x^{2}-4}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Para isso, vamos fatorar o denominador, escrever a fração como soma de termos simples e depois integrar cada termo.

Passo 2

Fatoramos o denominador e propomos a decomposição:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
\frac{5x-2}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2), obtemos
5x-2 = A(x+2) + B(x-2).

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em x\), temos \[A(x+2)+B(x-2) = (A+B)\,x + (2A-2B).
Comparando coeficientes com 5x-2, formam-se o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\\ 2A - 2B = -2. \end{cases}
Da segunda equação vem A - B = -1\]. Somando com \(A+B=5 2A=4, logo A=2 e B=3.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{5x-2}{x^{2}-4}\,dx =\int\Bigl(\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}\Bigr)\,dx =2\int\frac{dx}{x-2}+3\int\frac{dx}{x+2}.
Cada integral é logarítmica:
2\int\frac{dx}{x-2}=2\ln\lvert x-2\rvert, \quad 3\int\frac{dx}{x+2}=3\ln\lvert x+2\rvert.

Resposta

2\ln\lvert x-2\rvert + 3\ln\lvert x+2\rvert + C

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