Resolva as integrais indefinidas abaixo, utilizando o método de decomposição em frações parciais: \int \frac{5 x-2}{x^{2}-4} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5x-2}{x^{2}-4}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Para isso, vamos fatorar o denominador, escrever a fração como soma de termos simples e depois integrar cada termo.
Passo 2
Fatoramos o denominador e propomos a decomposição:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
\frac{5x-2}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2), obtemos
5x-2 = A(x+2) + B(x-2).
Passo 3
Expandindo e agrupando termos em x\), temos
\[A(x+2)+B(x-2) = (A+B)\,x + (2A-2B).
Comparando coeficientes com 5x-2, formam-se o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\\ 2A - 2B = -2. \end{cases}
Da segunda equação vem A - B = -1\]. Somando com \(A+B=5 dá 2A=4, logo A=2 e B=3.