Resolva as integrais indefinidas abaixo, utilizando o método de decomposição em frações parciais:
\int \frac{10}{(x-1)\left(x^{2}+9\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{10}{(x-1)\bigl(x^{2}+9\bigr)}\,dx
usando o método de decomposição em frações parciais. Vamos precisar escrever a função racional como soma de termos mais simples, depois integrar cada termo.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
\frac{10}{(x-1)(x^2+9)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+9}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+9), obtemos
10=A(x^2+9)+(Bx+C)(x-1).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A x^2+9A+(Bx+C)(x-1) =A x^2+9A+ Bx^2 - Bx + Cx - C =(A+B)x^2+(C-B)x+(9A-C).
Como isso deve ser igual a 10\) para todo \(x\), igualamos coeficientes: \[\begin{cases} A+B=0,\\\ C-B=0,\\\\ 9A-C=10. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Da segunda \(C=B=-A. Substituindo na terceira:
9A-(-A)=10\quad\Longrightarrow\quad10A=10\quad\Longrightarrow\quad A=1,
logo B=-1 e C=-1.

Passo 4

A decomposição fica
\frac{10}{(x-1)(x^2+9)} =\frac{1}{x-1}+\frac{-x-1}{x^2+9} =\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x^2+9}-\frac{1}{x^2+9}.

Passo 5

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle\int\frac{1}{x-1}\,dx=\ln\bigl|x-1\bigr|.
  2. Para \displaystyle\int\frac{x}{x^2+9}\,dx, fazemos u=x^2+9, du=2x\,dx, então
\int\frac{x}{x^2+9}\,dx =\frac12\int\frac{du}{u} =\frac12\ln\bigl(x^2+9\bigr).
  1. Para \displaystyle\int\frac{1}{x^2+9}\,dx, lembramos que \int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr). Aqui a=3, então
\int\frac{1}{x^2+9}\,dx =\frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
Juntando,
\int\frac{10}{(x-1)(x^2+9)}\,dx =\ln\bigl|x-1\bigr| -\frac12\ln\bigl(x^2+9\bigr) -\frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{10}{(x-1)(x^2+9)}\,dx =\ln\bigl|x-1\bigr| -\tfrac12\ln\bigl(x^2+9\bigr) -\tfrac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C. }

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