Resolva as integrais indefinidas abaixo, utilizando o método de decomposição em frações parciais:
\int \frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{x\bigl(x^{2}+4\bigr)^{2}}\,dx
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais, e vamos precisar também de substituições simples para integrar termos como \int dx/x, \int x/(x^{2}+4)\,dx e \int x/(x^{2}+4)^{2}\,dx.

Passo 2

Fazemos o ansatz de frações parciais:
\frac{1}{x\bigl(x^{2}+4\bigr)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}+\frac{Dx+E}{\bigl(x^{2}+4\bigr)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x^{2}+4)^{2} resulta
1 = A\,(x^{2}+4)^{2} + (Bx+C)\,x\,(x^{2}+4) + (Dx+E)\,x.

Passo 3

Expandindo e coletando potências de x\), obtemos \[1 = (A+B)x^{4} + C\,x^{3} + \bigl(8A+4B+D\bigr)x^{2} + (4C+E)x + 16A.
Igualando coeficientes a cada potência de x, vem o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\ C = 0,\\\\ 8A + 4B + D = 0,\\\\ 4C + E = 0,\\\\ 16A = 1. \end{cases}
Daí (\displaystyle A=\tfrac1{16},;B=-\tfrac1{16},;C=0,;D=-4A=-\tfrac14,;E=0.]

Passo 4

Substituindo esses valores na decomposição, a integral vira
\int \frac{1}{x(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\int\Bigl(\frac{1/16}{x} - \frac{(1/16)\,x}{x^{2}+4} - \frac{(1/4)\,x}{(x^{2}+4)^{2}}\Bigr)\,dx,
ou seja
\frac1{16}\int\frac{dx}{x} -\frac1{16}\int\frac{x\,dx}{x^{2}+4} -\frac1{4}\int\frac{x\,dx}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 5

Cada uma dessas é direta por substituição u=x^{2}+4, du=2x\,dx:
  • \displaystyle \int\frac{dx}{x} = \ln|x|.
  • \displaystyle \int\frac{x\,dx}{x^{2}+4} =\tfrac12\int\frac{du}{u}=\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr).
  • \displaystyle \int\frac{x\,dx}{(x^{2}+4)^{2}} =\tfrac12\int u^{-2}du =\tfrac12\bigl(-u^{-1}\bigr) =-\frac1{2(x^{2}+4)}.

Passo 6

Agora juntamos tudo:
\int \frac{1}{x(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac1{16}\ln|x| -\frac1{16}\cdot\frac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) -\frac1{4}\Bigl(-\frac1{2(x^{2}+4)}\Bigr)+C
=\frac1{16}\ln|x| -\frac1{32}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) +\frac1{8(x^{2}+4)}+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{1}{x(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac1{16}\ln\bigl|x\bigr| -\frac1{32}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) +\frac1{8(x^{2}+4)}+C. }

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