Resolva as integrais indefinidas abaixo, utilizando o método de decomposição em frações parciais:
\int \frac{x^{3}-2 x^{2}-4}{x^{3}+2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}}\mathrm{d}x.
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais. Para resolver, primeiro vamos fazer divisão polinomial para simplificar a expressão, depois decompor em frações parciais e, por fim, integrar termo a termo usando regras básicas.

Passo 2

Fazendo a divisão de \displaystyle \frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}}
vemos que o quociente é 1 e o resto é -4x^{2}-4. Logo,
\frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}} =1 + \frac{-4x^{2}-4}{x^{2}(x+2)} =1 - 4\,\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+2)}.

Passo 3

Agora decompondo \displaystyle \frac{-4(x^{2}+1)}{x^{2}(x+2)}
em frações parciais, escrevemos
\frac{-4(x^{2}+1)}{x^{2}(x+2)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x+2), obtemos
-4(x^{2}+1)=A\,x(x+2)+B(x+2)+C\,x^{2}.
Igualando coeficientes de x^{2}, x e termo constante, achamos
A=1,\quad B=-2,\quad C=-5.
Portanto
\frac{-4(x^{2}+1)}{x^{2}(x+2)} =\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x+2}.

Passo 4

Somando com a parte 1 que obtivemos na divisão, o integrando fica
1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x+2},
e então
\int \frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}}\mathrm{d}x =\int\Bigl(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x+2}\Bigr)\mathrm{d}x.
Integrando termo a termo pelas fórmulas básicas, vem
x+\ln\lvert x\rvert -2\!\int x^{-2}\mathrm{d}x -5\ln\lvert x+2\rvert + C =x+\ln\lvert x\rvert +\frac{2}{x} -5\ln\lvert x+2\rvert + C.

Resposta

x+\ln\lvert x\rvert+\frac{2}{x}-5\ln\lvert x+2\rvert+C.

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