Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função é a razão de dois polinômios, numerador
e denominador . - O ponto de interesse é
(isto é, tende a menos infinito).
Passo 2
Ideia principal (explicada com calma): quando se tem uma fração de polinômios e
, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui o grau do numerador é
(porque o maior expoente de
no numerador é
) e o grau do denominador é
. Como o denominador cresce em magnitude muito mais rápido quando
fica grande, esperamos que a fração tenda a
.
Para transformar isso em contas seguras na prova, uma técnica confiável é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador — neste caso
. Antes disso, lembro uma propriedade útil e simples:
Propriedade: para qualquer inteiro
,
Explicação rápida: quando
cresce muito, o denominador
cresce sem limite, então a fração fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 3
Agora aplico a divisão por
. Escrevo a expressão dividindo numerador e denominador por
:
Passo 4
Tomo o limite termo a termo, usando a propriedade do passo anterior (
para
):
Passo 5
Comentário sobre o sinal (para completar o entendimento): comparando os termos dominantes,
Para
grande em módulo,
é positivo e tende a
por ser da forma constante dividido por
. Assim, a função se aproxima de
vindo pelo lado positivo quando
. Mas, no final das contas, o limite vale
.
Resposta
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