Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{11 x+2}{2 x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{11x+2}{2x^{3}-1}.
Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios, numerador 11x+2 e denominador 2x^{3}-1.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty (isto é, x tende a menos infinito).

Passo 2

Ideia principal (explicada com calma): quando se tem uma fração de polinômios e x\to\pm\infty, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui o grau do numerador é 1 (porque o maior expoente de x no numerador é 1) e o grau do denominador é 3. Como o denominador cresce em magnitude muito mais rápido quando |x| fica grande, esperamos que a fração tenda a 0.
Para transformar isso em contas seguras na prova, uma técnica confiável é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador — neste caso x^{3}. Antes disso, lembro uma propriedade útil e simples:
Propriedade: para qualquer inteiro k>0,
\lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x^{k}} = 0.
Explicação rápida: quando |x| cresce muito, o denominador x^{k} cresce sem limite, então a fração fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 3

Agora aplico a divisão por x^{3}. Escrevo a expressão dividindo numerador e denominador por x^{3}:
\frac{11x+2}{2x^{3}-1} = \frac{\dfrac{11x+2}{x^{3}}}{\dfrac{2x^{3}-1}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{11}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}}{2-\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Tomo o limite termo a termo, usando a propriedade do passo anterior ( \lim_{x\to -\infty} 1/x^{k}=0 para k>0):
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{11}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}}{2-\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{ \lim_{x\to -\infty}\dfrac{11}{x^{2}} + \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2}{x^{3}} }{ \lim_{x\to -\infty}2 - \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{3}} } = \frac{0+0}{2-0} = 0.

Passo 5

Comentário sobre o sinal (para completar o entendimento): comparando os termos dominantes,
\frac{11x+2}{2x^{3}-1}\sim \frac{11x}{2x^{3}}=\frac{11}{2x^{2}}.
Para x grande em módulo, \frac{11}{2x^{2}} é positivo e tende a 0 por ser da forma constante dividido por x^{2}. Assim, a função se aproxima de 0 vindo pelo lado positivo quando x\to -\infty. Mas, no final das contas, o limite vale 0.

Resposta

0

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