Resolva as integrais indefinidas a seguir por frações parciais.
\int \frac{x^{2}+11 x+18}{x^{3}+7 x^{2}+15 x+9} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+11x+18}{x^{3}+7x^{2}+15x+9}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{Numerador} = x^{2}+11x+18 \quad\text{(grau 2)}
\text{Denominador} = x^{3}+7x^{2}+15x+9 \quad\text{(grau 3)}
O integrando é uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador). A integral pedida é indefinida (tem constante de integração). A partir daqui vamos transformar a fração em parcelas mais simples que possamos integrar uma a uma.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador para ver a estrutura dos fatores (isso é útil para escolher a forma da decomposição em parcelas simples). Testando raízes inteiras simples para o polinômio x^{3}+7x^{2}+15x+9:
-calculo para x=-1:
(-1)^{3}+7(-1)^{2}+15(-1)+9 = -1+7-15+9 = 0,
logo x=-1 é raiz. Portanto (x+1) é um fator.
Dividindo o polinômio por x+1 (pode-se fazer divisão polinomial ou soma sintética). Usando soma sintética com -1 nos coeficientes 1,7,15,9:
\begin{array}{r|rrr} -1 & 1 & 7 & 15 & 9\\\ & & -1 & -6 & -9\\\ \hline & 1 & 6 & 9 & 0 \end{array}
O quociente é x^{2}+6x+9 e o resto é 0. Note que
x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}.
Portanto o denominador fatorado é
x^{3}+7x^{2}+15x+9=(x+1)(x+3)^{2}.

Passo 3

Como o denominador tem um fator linear distinto (x+1) e um fator linear repetido (x+3)^{2}, a forma geral da decomposição em parcelas é
\frac{x^{2}+11x+18}{(x+1)(x+3)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{(x+3)^{2}},
onde A,B,C são constantes que precisamos determinar. Explicando por que: para cada fator linear simples (x+a) usamos um termo \dfrac{\text{constante}}{x+a}; para um fator repetido (x+a)^{2} usamos termos com potências até o expoente (aqui 1 e 2), ou seja \dfrac{B}{x+3}+\dfrac{C}{(x+3)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados pela expressão (x+1)(x+3)^{2} obtemos a identidade polinomial
x^{2}+11x+18 = A(x+3)^{2} + B(x+1)(x+3) + C(x+1).

Passo 4

Vamos encontrar [A,B,C). Primeiro expandimos os fatores necessários (ou usamos pontos estratégicos):
Expansões úteis:
(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9,
(x+1)(x+3)=x^{2}+4x+3.
Substituindo:
x^{2}+11x+18 = A(x^{2}+6x+9) + B(x^{2}+4x+3) + C(x+1).
Agrupando coeficientes:
x^{2}+11x+18 = (A+B)x^{2} + (6A+4B+C)x + (9A+3B+C).
Agora igualamos coeficientes de cada potência de x:
\begin{cases} 1 = A + B,\\[4pt] 11 = 6A + 4B + C,\\[4pt] 18 = 9A + 3B + C. \end{cases}
Mas existe um jeito mais rápido: usar valores de x\] que anulam termos. - Tomando \(x=-1 (anula os termos com fator x+1), da identidade original:
(-1)^{2}+11(-1)+18 = A((-1)+3)^{2},
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1-11+18 = A\cdot 2^{2} \implies 8 = 4A \implies A=2.
  • Tomando x=-3 (anula os termos com x+3):
(-3)^{2}+11(-3)+18 = C((-3)+1),
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9-33+18 = C(-2) \implies -6 = -2C \implies C=3.
Com A=2 e C=3, usamos a equação 1=A+B para obter B:
1 = A + B \implies 1 = 2 + B \implies B = -1.
(Confirmação rápida com as outras equações: usando A=2,B=-1 em 11=6A+4B+C 11=12-4+3=11, ok.)
Portanto
A=2,\quad B=-1,\quad C=3.]

Passo 5

Substituindo as constantes na decomposição obtemos
\frac{x^{2}+11x+18}{(x+1)(x+3)^{2}}=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+3}+\frac{3}{(x+3)^{2}}.
Assim a integral se quebra em parcelas mais simples:
\int \frac{x^{2}+11x+18}{x^{3}+7x^{2}+15x+9}\,dx = \int\left(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+3}+\frac{3}{(x+3)^{2}}\right)dx.

Passo 6

Agora integramos termo a termo, lembrando as integrais básicas:
  • A fórmula fundamental para logaritmos: \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C. Aqui a é uma constante; a derivada de \ln|x+a| é \dfrac{1}{x+a}.
  • Para potências negativas: \displaystyle \int (x+a)^{n}\,dx=\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1. Em particular, para n=-2,
\int (x+a)^{-2}\,dx=\frac{(x+a)^{-1}}{-1}+C = -\frac{1}{x+a}+C.
Aplicando:
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
\int \left(-\frac{1}{x+3}\right)dx = -\ln|x+3|.
\int \frac{3}{(x+3)^{2}}\,dx = 3\int (x+3)^{-2}dx = 3\left(-\frac{1}{x+3}\right) = -\frac{3}{x+3}.

Passo 7

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, a antiderivada é
2\ln|x+1|-\ln|x+3|-\frac{3}{x+3}+C.
Você pode, se quiser, combinar os dois logaritmos numa única expressão logarítmica:
2\ln|x+1|-\ln|x+3|=\ln\!\left(\frac{(x+1)^{2}}{x+3}\right),
mas não é necessário — ambas formas estão corretas.

Resposta

\;2\ln|x+1|-\ln|x+3|-\dfrac{3}{x+3}+C

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