O integrando é uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador). A integral pedida é indefinida (tem constante de integração). A partir daqui vamos transformar a fração em parcelas mais simples que possamos integrar uma a uma.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador para ver a estrutura dos fatores (isso é útil para escolher a forma da decomposição em parcelas simples). Testando raízes inteiras simples para o polinômio x^{3}+7x^{2}+15x+9:
-calculo para x=-1:
(-1)^{3}+7(-1)^{2}+15(-1)+9 = -1+7-15+9 = 0,
logo x=-1 é raiz. Portanto (x+1) é um fator.
Dividindo o polinômio por x+1 (pode-se fazer divisão polinomial ou soma sintética). Usando soma sintética com -1 nos coeficientes 1,7,15,9:
onde A,B,C são constantes que precisamos determinar. Explicando por que: para cada fator linear simples (x+a) usamos um termo \dfrac{\text{constante}}{x+a}; para um fator repetido (x+a)^{2} usamos termos com potências até o expoente (aqui 1 e 2), ou seja \dfrac{B}{x+3}+\dfrac{C}{(x+3)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados pela expressão (x+1)(x+3)^{2} obtemos a identidade polinomial
x^{2}+11x+18 = A(x+3)^{2} + B(x+1)(x+3) + C(x+1).
Passo 4
Vamos encontrar [A,B,C). Primeiro expandimos os fatores necessários (ou usamos pontos estratégicos):
Agora integramos termo a termo, lembrando as integrais básicas:
A fórmula fundamental para logaritmos: \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C. Aqui a é uma constante; a derivada de \ln|x+a| é \dfrac{1}{x+a}.
Para potências negativas: \displaystyle \int (x+a)^{n}\,dx=\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1. Em particular, para n=-2,