Resolva as integrais indefinidas a seguir por frações parciais.
\int \frac{7 x^{2}-13 x+65}{x^{3}-4 x^{2}+9 x-36} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida por frações parciais
\int \frac{7 x^{2}-13 x+65}{x^{3}-4 x^{2}+9 x-36}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • Temos a função racional cujo numerador é \;7 x^{2}-13 x+65\; e o denominador é \;x^{3}-4 x^{2}+9 x-36\;.
  • Precisamos escrever a função como soma de frações parciais (forma simples) e calcular a integral indefinida.
  • Não é fornecida figura ou tabela; toda informação necessária está no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador \;x^{3}-4 x^{2}+9 x-36\;. Uma técnica simples é testar raízes inteiras possíveis (divisores de -36). Testando x=4 obtemos
4^{3}-4\cdot4^{2}+9\cdot4-36 = 64-64+36-36 = 0,
logo \;x=4\; é raiz e \;x-4\; é fator do polinômio.

Passo 3

Fazemos a divisão do polinômio pelo fator \;x-4\; para obter os outros fatores. Dividindo
x^{3}-4 x^{2}+9 x-36
por \;x-4\; (pode-se usar divisão sintética): coeficientes 1,\,-4,\,9,\,-36.
Divisão sintética rápida:
  • Trazer 1.
  • Multiplicar por 4 4. Somar a -4 0.
  • Multiplicar por 4 0. Somar a 9 9.
  • Multiplicar por 4 36. Somar a -36 0.
Quociente é x^{2}+0x+9 = x^{2}+9. Portanto
x^{3}-4 x^{2}+9 x-36 = (x-4)(x^{2}+9).

Passo 4

Agora escrevemos a decomposição em frações parciais. Como \;x^{2}+9\; é quadrático irredutível real (não tem raízes reais), a forma é
\frac{7 x^{2}-13 x+65}{(x-4)(x^{2}+9)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B x+C}{x^{2}+9},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por (x-4)(x^{2}+9) para obter uma identidade polinomial:
7 x^{2}-13 x+65 = A(x^{2}+9) + (B x+C)(x-4).
Vamos expandir o lado direito e igualar coeficientes.
Expansão:
A x^{2}+9A + (B x+C)(x-4) = A x^{2}+9A + B x^{2} + C x -4B x -4C.
Agrupando:
(A+B) x^{2} + (C-4B) x + (9A-4C).
Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo ( 7 x^{2}-13 x+65) obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B = 7,\\[4pt] C-4B = -13,\\[4pt] 9A-4C = 65. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema. Da primeira equação:
B = 7 - A.
Substituindo na segunda:
C - 4(7-A) = -13 \quad\Rightarrow\quad C -28 +4A = -13 \quad\Rightarrow\quad C +4A = 15.
Logo
C = 15 - 4A.
Substituindo na terceira:
9A - 4(15 - 4A) = 65.
Calculemos passo a passo:
9A -60 +16A = 65 \quad\Rightarrow\quad 25A -60 = 65 \quad\Rightarrow\quad 25A = 125 \quad\Rightarrow\quad A = 5.
Com A=5 temos
B = 7 - A = 7 - 5 = 2,
C = 15 - 4A = 15 - 20 = -5.

Passo 7

Portanto a decomposição é
\frac{7 x^{2}-13 x+65}{(x-4)(x^{2}+9)} = \frac{5}{x-4} + \frac{2x-5}{x^{2}+9}.

Passo 8

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{7 x^{2}-13 x+65}{x^{3}-4 x^{2}+9 x-36}\,dx = \int \frac{5}{x-4}\,dx + \int \frac{2x-5}{x^{2}+9}\,dx.
Tratemos cada integral separadamente.
  1. Integral de \frac{5}{x-4}:
\int \frac{5}{x-4}\,dx = 5\int \frac{1}{x-4}\,dx = 5\ln\big|x-4\big| + C_1,
porque \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + \text{constante}.
  1. Integral de \frac{2x-5}{x^{2}+9}. Separamos o numerador em duas partes que são convenientes:
\frac{2x-5}{x^{2}+9} = \frac{2x}{x^{2}+9} - \frac{5}{x^{2}+9}.
  • Para \int \frac{2x}{x^{2}+9}\,dx, note que a derivada de x^{2}+9 é 2x. Assim
\int \frac{2x}{x^{2}+9}\,dx = \ln\big(x^{2}+9\big) + C_2.
(explicação: \int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C. Aqui u=x^{2}+9.)
  • Para \int \frac{5}{x^{2}+9}\,dx, usamos a fórmula padrão
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
Aqui a^{2}=9 então a=3. Assim
\int \frac{5}{x^{2}+9}\,dx = 5\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right) + C_3 = \frac{5}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right) + C_3.
Como temos sinal negativo no integrando, o termo contribui com -\frac{5}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right).

Passo 9

Somando todas as partes (e juntando constantes em uma única constante C) obtemos a primitiva:
5\ln\big|x-4\big| + \ln\big(x^{2}+9\big) - \frac{5}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right) + C.

Resposta

5\ln\big|x-4\big| + \ln\big(x^{2}+9\big) - \frac{5}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right) + C

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