Temos a função racional cujo numerador é \;7 x^{2}-13 x+65\; e o denominador é \;x^{3}-4 x^{2}+9 x-36\;.
Precisamos escrever a função como soma de frações parciais (forma simples) e calcular a integral indefinida.
Não é fornecida figura ou tabela; toda informação necessária está no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador \;x^{3}-4 x^{2}+9 x-36\;. Uma técnica simples é testar raízes inteiras possíveis (divisores de -36). Testando x=4 obtemos
4^{3}-4\cdot4^{2}+9\cdot4-36 = 64-64+36-36 = 0,
logo \;x=4\; é raiz e \;x-4\; é fator do polinômio.
Passo 3
Fazemos a divisão do polinômio pelo fator \;x-4\; para obter os outros fatores. Dividindo
x^{3}-4 x^{2}+9 x-36
por \;x-4\; (pode-se usar divisão sintética): coeficientes 1,\,-4,\,9,\,-36.
Divisão sintética rápida:
Trazer 1.
Multiplicar por 4 → 4. Somar a -4 → 0.
Multiplicar por 4 → 0. Somar a 9 → 9.
Multiplicar por 4 → 36. Somar a -36 → 0.
Quociente é x^{2}+0x+9 = x^{2}+9. Portanto
x^{3}-4 x^{2}+9 x-36 = (x-4)(x^{2}+9).
Passo 4
Agora escrevemos a decomposição em frações parciais. Como \;x^{2}+9\; é quadrático irredutível real (não tem raízes reais), a forma é