Resolva as integrais indefinidas a seguir por frações parciais.
\int \frac{-4 x^{2}-7 x-1}{x^{3}+4 x^{2}+5 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida por frações parciais
\int \frac{-4 x^{2}-7 x-1}{x^{3}+4 x^{2}+5 x+2}\,dx.
Informações dadas:
  • Numerador: -4 x^{2}-7 x-1.
  • Denominador: x^{3}+4 x^{2}+5 x+2.
  • Queremos decompor a fração racional em frações parciais e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro vamos fatorar o denominador. Verifico se x=-1 é raiz:
(-1)^{3}+4(-1)^{2}+5(-1)+2=-1+4-5+2=0,
logo x+1 é fator. Fazendo a divisão do polinômio por x+1 (ou fatorando) obtém-se
x^{3}+4x^{2}+5x+2=(x+1)(x^{2}+3x+2).
E x^{2}+3x+2 fatoriza como (x+1)(x+2). Portanto
x^{3}+4x^{2}+5x+2=(x+1)^{2}(x+2).

Passo 3

Para decompor em frações parciais, como o denominador tem um fator linear repetido (x+1)^{2} e mais um fator linear (x+2), a forma correta da decomposição é
\frac{-4 x^{2}-7 x-1}{(x+1)^{2}(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x+2},
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico: para cada fator linear simples (x+a) usamos um termo \dfrac{\text{const}}{x+a}; para um fator repetido de ordem 2 usamos os termos \dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{(x+a)^{2}}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2}(x+2) obtemos a igualdade polinomial
-4 x^{2}-7 x-1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^{2}.
Agora expandimos cada termo para comparar coeficientes. Primeiro,
A(x+1)(x+2)=A(x^{2}+3x+2)=A x^{2}+3A x+2A,
B(x+2)=B x+2B,
C(x+1)^{2}=C(x^{2}+2x+1)=C x^{2}+2C x+C.
Somando:
A x^{2}+C x^{2} + (3A + B + 2C)x + (2A + 2B + C).
Portanto, coletando termos em potências de x,
(A+C) x^{2} + (3A + B + 2C) x + (2A + 2B + C) = -4 x^{2} -7 x -1.
Igualando coeficientes obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + C = -4,\\[4pt] 3A + B + 2C = -7,\\[4pt] 2A + 2B + C = -1. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema. Da primeira equação temos
C = -4 - A.
Substituo na segunda:
3A + B + 2(-4 - A) = -7 \quad\Rightarrow\quad 3A + B -8 -2A = -7,
que simplifica para
A + B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = 1 - A.
Agora uso a terceira equação com B e C em função de A:
2A + 2(1 - A) + (-4 - A) = -1.
Calculando:
2A + 2 -2A -4 - A = -1 \quad\Rightarrow\quad -A -2 = -1 \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Com A=-1 temos
B = 1 - (-1) = 2,
C = -4 - (-1) = -3.
Logo a decomposição é
\frac{-4 x^{2}-7 x-1}{(x+1)^{2}(x+2)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^{2}}+\frac{-3}{x+2}.

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Sabendo que \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C e que, pela regra da potência, \displaystyle \int (x+a)^{-2}\,dx=-(x+a)^{-1}+C, temos
\int \frac{-1}{x+1}\,dx = -\ln|x+1|,
\int \frac{2}{(x+1)^{2}}\,dx = 2\int (x+1)^{-2}\,dx = 2\bigl(- (x+1)^{-1}\bigr) = -\frac{2}{x+1},
\int \frac{-3}{x+2}\,dx = -3\ln|x+2|.
Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, a primitiva fica
-\ln|x+1|-\frac{2}{x+1}-3\ln|x+2|+C.

Resposta

-\ln|x+1|-\dfrac{2}{x+1}-3\ln|x+2|+C

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