Queremos decompor a fração racional em frações parciais e integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro vamos fatorar o denominador. Verifico se x=-1 é raiz:
(-1)^{3}+4(-1)^{2}+5(-1)+2=-1+4-5+2=0,
logo x+1 é fator. Fazendo a divisão do polinômio por x+1 (ou fatorando) obtém-se
x^{3}+4x^{2}+5x+2=(x+1)(x^{2}+3x+2).
E x^{2}+3x+2 fatoriza como (x+1)(x+2). Portanto
x^{3}+4x^{2}+5x+2=(x+1)^{2}(x+2).
Passo 3
Para decompor em frações parciais, como o denominador tem um fator linear repetido (x+1)^{2} e mais um fator linear (x+2), a forma correta da decomposição é
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico: para cada fator linear simples (x+a) usamos um termo \dfrac{\text{const}}{x+a}; para um fator repetido de ordem 2 usamos os termos \dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{(x+a)^{2}}.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2}(x+2) obtemos a igualdade polinomial
Agora integramos termo a termo. Sabendo que \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C e que, pela regra da potência, \displaystyle \int (x+a)^{-2}\,dx=-(x+a)^{-1}+C, temos