Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: integrando é o produto de
por
; queremos uma antiderivada (ou seja, uma expressão que, derivada, retorna
). O enunciado sugere usar a fórmula da integração por partes:
Não resolvemos nada ainda; só identificamos o que é pedido e que a técnica indicada é a integração por partes.
Passo 2
Vou explicar a fórmula de integração por partes de modo bem claro. Se tivermos duas funções
e
diferenciáveis, escrevemos
e escolhemos um elemento
tal que possamos integrar para obter
. A fórmula é
O raciocínio prático para escolher
e
é: escolher
de forma que
seja mais simples (ou pelo menos manejável) e escolher
que seja fácil de integrar para obter
. Aqui temos
e
; ambas são fáceis de manipular, então vou escolher a divisão que torna os cálculos suaves.
Passo 3
Escolho inicialmente
Calculo
e
:
Agora aplico integração por partes:
Simplificando o sinal:
Para organização, chamo a integral original de
:
E a nova integral aparece:
de modo que a relação obtida é
Passo 4
Agora vamos calcular
também por partes. Escolho
Então
Aplicando integração por partes para
:
Repare que a integral que surge é exatamente
. Assim
Passo 5
Substituo
na relação que tínhamos para
:
Agora faço as contas passo a passo:
Somando
aos dois lados para isolar
:
O lado esquerdo é
, então
Multiplico ambos os lados por
para obter
:
Passo 6
Faço a simplificação dos coeficientes:
Logo
onde
é a constante de integração. Uma forma equivalente, mais compacta, é
Passo 7
Checagem rápida (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): derivando a solução
usando regra do produto e derivadas de seno e cosseno, obtém-se
, confirmando que
é uma primitiva correta. Parabéns — chegamos à solução usando integração por partes duas vezes e resolvendo a equação linear em
.