Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes: u \cdot v-\int v d u
\int e^{2 x} \cdot \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{2x}\cos(x)\,dx.
Informações dadas: integrando é o produto de e^{2x} por \cos(x); queremos uma antiderivada (ou seja, uma expressão que, derivada, retorna e^{2x}\cos(x)). O enunciado sugere usar a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Não resolvemos nada ainda; só identificamos o que é pedido e que a técnica indicada é a integração por partes.

Passo 2

Vou explicar a fórmula de integração por partes de modo bem claro. Se tivermos duas funções u(x) e v(x) diferenciáveis, escrevemos du = u'(x)\,dx e escolhemos um elemento dv tal que possamos integrar para obter v. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
O raciocínio prático para escolher u e dv é: escolher u de forma que du seja mais simples (ou pelo menos manejável) e escolher dv que seja fácil de integrar para obter v. Aqui temos e^{2x} e \cos x; ambas são fáceis de manipular, então vou escolher a divisão que torna os cálculos suaves.

Passo 3

Escolho inicialmente
u=\cos(x),\qquad dv=e^{2x}\,dx.
Calculo du e v:
du = -\sin(x)\,dx, \qquad v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Agora aplico integração por partes:
\int e^{2x}\cos(x)\,dx = u v - \int v\,du = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) - \int \frac{1}{2}e^{2x}\bigl(-\sin(x)\bigr)\,dx.
Simplificando o sinal:
\int e^{2x}\cos(x)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin(x)\,dx.
Para organização, chamo a integral original de I:
I=\int e^{2x}\cos(x)\,dx.
E a nova integral aparece:
J=\int e^{2x}\sin(x)\,dx,
de modo que a relação obtida é
I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{2}J.

Passo 4

Agora vamos calcular J=\int e^{2x}\sin(x)\,dx também por partes. Escolho
u=\sin(x),\qquad dv=e^{2x}\,dx.
Então
du=\cos(x)\,dx,\qquad v=\frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando integração por partes para J:
J = u v - \int v\,du = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(x) - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x)\,dx.
Repare que a integral que surge é exatamente I. Assim
J = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(x) - \frac{1}{2}I.

Passo 5

Substituo J na relação que tínhamos para I:
I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2}e^{2x}\sin(x) - \frac{1}{2}I\Bigr).
Agora faço as contas passo a passo:
I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{4}e^{2x}\sin(x) - \frac{1}{4}I.
Somando \frac{1}{4}I aos dois lados para isolar I:
I + \frac{1}{4}I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{4}e^{2x}\sin(x).
O lado esquerdo é \frac{5}{4}I, então
\frac{5}{4}I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{4}e^{2x}\sin(x).
Multiplico ambos os lados por \frac{4}{5} para obter I:
I = \frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{4}e^{2x}\sin(x)\right).

Passo 6

Faço a simplificação dos coeficientes:
\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{5},\qquad \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{5}.
Logo
I = e^{2x}\left(\frac{2}{5}\cos(x) + \frac{1}{5}\sin(x)\right) + C,
onde C é a constante de integração. Uma forma equivalente, mais compacta, é
I = \frac{e^{2x}}{5}\bigl(2\cos(x) + \sin(x)\bigr) + C.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): derivando a solução
F(x)=\frac{e^{2x}}{5}\bigl(2\cos x + \sin x\bigr)
usando regra do produto e derivadas de seno e cosseno, obtém-se F'(x)=e^{2x}\cos x, confirmando que F é uma primitiva correta. Parabéns — chegamos à solução usando integração por partes duas vezes e resolvendo a equação linear em I.

Resposta

\int e^{2x}\cos(x)\,dx = \frac{e^{2x}}{5}\bigl(2\cos(x)+\sin(x)\bigr) + C

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