Esboce a regiāo limitada pelas curvas
e
, e determine a área entre as curvas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região limitada pelas curvas
e
e determinar a área dessa região. As informações que temos são exatamente as duas funções que definem as curvas:
Para esboçar a região fechada entre elas precisaremos encontrar os pontos de interseção (onde
) e saber, em cada intervalo entre interseções, qual curva está acima da outra. Esses serão os dados relevantes para montar a integral da área.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção resolvendo
. Então:
Colocando todos os termos do mesmo lado:
Fatorando
em evidência:
Agora fatoramos o quadrado:
Logo os pontos de interseção são as raízes:
Esses são os limites horizontais da região fechada (os valores de
onde as curvas se cruzam). Para esboçar: marque
no eixo
; a curva
é uma parábola que abre para baixo com vértice em
(pois
então
) e
é um polinômio cúbico com raízes em
(pois
). Com esses pontos e a noção de abertura das curvas dá para esboçar qualitativamente a região limitada entre
e
.
Passo 3
Precisamos saber, em cada intervalo entre
, qual curva está acima (isso determina o integrando como diferença “topo menos base”). Considere a diferença
Também podemos escrever
Usamos testes de sinal em cada intervalo:
- Para
, por exemplo , temos . Então nesse intervalo. - Para
, por exemplo , temos , logo nesse intervalo.
Portanto: - Entre
e : está acima de . - Entre
e : está acima de .
Passo 4
A área
entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções (a função superior menos a inferior) ao longo de
entre os pontos de interseção. Como a superior muda em
, somamos duas integrais:
Já simplificamos a diferença antes; podemos usar a forma polinomial
Assim, reescrevemos:
Lembrete rápido (aulas rápidas): a integral de
é
. Usaremos isso para integrar cada termo polinomial.
Passo 5
Calcule uma antiderivada comum para
. Usando a regra
:
Denotemos essa primitiva por
Passo 6
Avalie a primeira integral
.
Calcule .
Calcule :
Calcule
Calcule
Somando:
Portanto
Passo 7
Agora a segunda integral
. Podemos usar
.
Calcule :
Calcule
Somando:
Como
, então
e assim
Passo 8
Some as duas contribuições de área:
Esse é o valor exato da área da região limitada entre as curvas. Em forma decimal aproximada,
.