Esboce a regiāo limitada pelas curvas y=-x^{2}+2 x e y=x^{3}+x^{2}-6 x, e determine a área entre as curvas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região limitada pelas curvas y=-x^{2}+2x e y=x^{3}+x^{2}-6x e determinar a área dessa região. As informações que temos são exatamente as duas funções que definem as curvas:
y_1(x)= -x^{2}+2x
y_2(x)= x^{3}+x^{2}-6x.
Para esboçar a região fechada entre elas precisaremos encontrar os pontos de interseção (onde y_1=y_2) e saber, em cada intervalo entre interseções, qual curva está acima da outra. Esses serão os dados relevantes para montar a integral da área.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção resolvendo y_1(x)=y_2(x). Então:
-x^{2}+2x = x^{3}+x^{2}-6x.
Colocando todos os termos do mesmo lado:
0 = x^{3}+x^{2}-6x + x^{2}-2x = x^{3}+2x^{2}-8x.
Fatorando x em evidência:
0 = x\,(x^{2}+2x-8).
Agora fatoramos o quadrado:
x^{2}+2x-8 = (x+4)(x-2).
Logo os pontos de interseção são as raízes:
x=0,\quad x=-4,\quad x=2.
Esses são os limites horizontais da região fechada (os valores de x onde as curvas se cruzam). Para esboçar: marque x=-4,0,2 no eixo x; a curva y_1 é uma parábola que abre para baixo com vértice em x=1 (pois a=-1, b=2 então x_v=-b/(2a)=1) e y_2 é um polinômio cúbico com raízes em x=-3,0,2 (pois y_2=x(x+3)(x-2)). Com esses pontos e a noção de abertura das curvas dá para esboçar qualitativamente a região limitada entre x=-4 e x=2.

Passo 3

Precisamos saber, em cada intervalo entre -4,0,2, qual curva está acima (isso determina o integrando como diferença “topo menos base”). Considere a diferença
D(x)=y_1(x)-y_2(x)=(-x^{2}+2x)-(x^{3}+x^{2}-6x) = -x^{3}-2x^{2}+8x.
Também podemos escrever
y_2(x)-y_1(x)=x^{3}+2x^{2}-8x = x(x+4)(x-2).
Usamos testes de sinal em cada intervalo:
  • Para x\in(-4,0), por exemplo x=-2, temos x(x+4)(x-2)=(-2)\cdot 2\cdot(-4)=16>0. Então y_2>y_1 nesse intervalo.
  • Para x\in(0,2), por exemplo x=1, temos x(x+4)(x-2)=1\cdot5\cdot(-1)=-5<0, logo y_2<y_1 nesse intervalo.
    Portanto:
  • Entre x=-4 e x=0: y_2 está acima de y_1.
  • Entre x=0 e x=2: y_1 está acima de y_2.

Passo 4

A área A entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções (a função superior menos a inferior) ao longo de x entre os pontos de interseção. Como a superior muda em x=0, somamos duas integrais:
A = \int_{-4}^{0} \bigl(y_2(x)-y_1(x)\bigr)\,dx \;+\; \int_{0}^{2} \bigl(y_1(x)-y_2(x)\bigr)\,dx.
Já simplificamos a diferença antes; podemos usar a forma polinomial
y_2(x)-y_1(x)=x^{3}+2x^{2}-8x.
Assim, reescrevemos:
A = \int_{-4}^{0} \bigl(x^{3}+2x^{2}-8x\bigr)\,dx \;+\; \int_{0}^{2} \bigl(-x^{3}-2x^{2}+8x\bigr)\,dx.
Lembrete rápido (aulas rápidas): a integral de x^{n} é \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}. Usaremos isso para integrar cada termo polinomial.

Passo 5

Calcule uma antiderivada comum para x^{3}+2x^{2}-8x. Usando a regra \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int \bigl(x^{3}+2x^{2}-8x\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{4} + \frac{2x^{3}}{3} -4x^{2} + C.
Denotemos essa primitiva por
F(x)=\frac{x^{4}}{4} + \frac{2x^{3}}{3} -4x^{2}.

Passo 6

Avalie a primeira integral I_{1}=\int_{-4}^{0} (x^{3}+2x^{2}-8x)\,dx = F(0)-F(-4).
Calcule F(0)=0.
Calcule F(-4):
\frac{(-4)^{4}}{4} = \frac{256}{4}=64,
\frac{2(-4)^{3}}{3} = \frac{2(-64)}{3}=-\frac{128}{3},
-4(-4)^{2} = -4\cdot 16 = -64.
Somando:
F(-4)=64 - \frac{128}{3} -64 = -\frac{128}{3}.
Portanto
I_{1}=0 -\Bigl(-\frac{128}{3}\Bigr)=\frac{128}{3}.

Passo 7

Agora a segunda integral I_{2}=\int_{0}^{2} (-x^{3}-2x^{2}+8x)\,dx. Podemos usar I_{2}=-\int_{0}^{2} (x^{3}+2x^{2}-8x)\,dx = -(F(2)-F(0)).
Calcule F(2):
\frac{2^{4}}{4} = \frac{16}{4}=4,
\frac{2\cdot 2^{3}}{3} = \frac{16}{3},
-4\cdot 2^{2} = -4\cdot 4 = -16.
Somando:
F(2)=4 + \frac{16}{3} -16 = -12 + \frac{16}{3} = -\frac{36-16}{3} = -\frac{20}{3}.
Como F(0)=0, então
\int_{0}^{2} (x^{3}+2x^{2}-8x)\,dx = F(2)-0 = -\frac{20}{3},
e assim
I_{2} = -\Bigl(-\frac{20}{3}\Bigr)=\frac{20}{3}.

Passo 8

Some as duas contribuições de área:
A = I_{1}+I_{2} = \frac{128}{3} + \frac{20}{3} = \frac{148}{3}.
Esse é o valor exato da área da região limitada entre as curvas. Em forma decimal aproximada, A\approx 49{,}333.

Resposta

\dfrac{148}{3}

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