Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
ou seja, encontrar uma função primitiva cuja derivada seja
. Não foram dadas outras condições, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Apresento a fórmula da Integração por Partes (que o enunciado indicou):
Aqui
e
são escolhas que fazemos para dividir o integrando em dois fatores;
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. A ideia é escolher
e
de modo que
e
fiquem mais simples que o integrando original, facilitando a integral
.
Passo 3
Escolhemos partes do integrando como
Agora calculamos
e
.
Primeiro
: sabemos que
. Derivando (regra do quociente) obtemos
portanto
Agora
: precisamos de uma primitiva de
. Como
, temos
logo
Passo 4
Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando os sinais e termos:
Note que a integral à direita é exatamente a integral original; chamo-a de
:
Somando
aos dois lados:
Portanto
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a resposta encontrada devemos recuperar o integrando.
que é o integrando original. Está correto.