Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes: u \cdot v-\int v d u
\int \operatorname{cosec}^{2}(x) \cdot \operatorname{cotg}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cosec}^{2}(x)\cdot \operatorname{cotg}(x)\,dx
ou seja, encontrar uma função primitiva cuja derivada seja \operatorname{cosec}^{2}(x)\cdot \operatorname{cotg}(x). Não foram dadas outras condições, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Apresento a fórmula da Integração por Partes (que o enunciado indicou):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv são escolhas que fazemos para dividir o integrando em dois fatores; du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u e dv de modo que v e du fiquem mais simples que o integrando original, facilitando a integral \int v\,du.

Passo 3

Escolhemos partes do integrando como
u = \cot(x),\qquad dv = \csc^{2}(x)\,dx.
Agora calculamos du e v.
Primeiro du: sabemos que \cot(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Derivando (regra do quociente) obtemos
\frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^{2}(x),
portanto
du = -\csc^{2}(x)\,dx.
Agora v: precisamos de uma primitiva de dv=\csc^{2}(x)\,dx. Como \dfrac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^{2}(x), temos
\int \csc^{2}(x)\,dx = -\cot(x),
logo
v = -\cot(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
\int \csc^{2}(x)\cot(x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \csc^{2}(x)\cot(x)\,dx = \cot(x)\cdot\bigl(-\cot(x)\bigr) - \int \bigl(-\cot(x)\bigr)\cdot\bigl(-\csc^{2}(x)\,dx\bigr).
Simplificando os sinais e termos:
\int \csc^{2}(x)\cot(x)\,dx = -\cot^{2}(x) - \int \csc^{2}(x)\cot(x)\,dx.
Note que a integral à direita é exatamente a integral original; chamo-a de I:
I = -\cot^{2}(x) - I.
Somando I aos dois lados:
2I = -\cot^{2}(x).
Portanto
I = -\frac{1}{2}\cot^{2}(x) + C.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a resposta encontrada devemos recuperar o integrando.
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cot^{2}(x)\right) = -\frac{1}{2}\cdot 2\cot(x)\cdot\frac{d}{dx}\cot(x) = -\cot(x)\cdot\bigl(-\csc^{2}(x)\bigr) = \csc^{2}(x)\cot(x),
que é o integrando original. Está correto.

Resposta

-\frac{1}{2}\cot^{2}(x)+C

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