Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
integral (x-1)x^3+x^2-4 x-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x-1x^3+x^2-4x-4 dx usando o método das frações parciais. Aqui, vamos precisar saber fatorar polinômios e decompor frações racionais para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3+x^2-4x-4. Para isso, procuramos raízes racionais possíveis, que são divisores do termo constante (-4) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Testando, encontramos que x = -1 é uma raiz, então podemos dividir o polinômio por (x + 1):
x^3+x^2-4x-4 = (x + 1)(x^2 - 4)
Agora, o denominador fica (x + 1)(x - 2)(x + 2).

Passo 3

Com o denominador fatorado, vamos decompor a fração em partes simples:
x - 1(x + 1)(x - 2)(x + 2) = Ax + 1 + Bx - 2 + Cx + 2
Multiplicando ambos os lados por (x + 1)(x - 2)(x + 2) para eliminar os denominadores:
x - 1 = A(x - 2)(x + 2) + B(x + 1)(x + 2) + C(x + 1)(x - 2)

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C escolhendo valores específicos de x:
  • Para x = -1:
-1 - 1 = A(-3)(1) Rightarrow -2 = -3A Rightarrow A = 23
  • Para x = 2:
2 - 1 = B(3)(4) Rightarrow 1 = 12B Rightarrow B = 112
  • Para x = -2:
-2 - 1 = C(-1)(-4) Rightarrow -3 = 4C Rightarrow C = -34

Passo 5

Com os valores de A, B e C, a fração original fica:
x - 1(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 23x + 1 + 112x - 2 + -34x + 2

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x - 1x^3+x^2-4x-4 dx = 23 integral 1x + 1 dx + 112 integral 1x - 2 dx - 34 integral 1x + 2 dx
Sabendo que integral 1x dx = ln|x| + C, aplicamos isso a cada termo:
= 23 ln|x + 1| + 112 ln|x - 2| - 34 ln|x + 2| + C

Resposta

23 ln|x + 1| + 112 ln|x - 2| - 34 ln|x + 2| + C

Exercícios relacionados