Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
integral 2 x+12 x^2+3 x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 2x + 12x^2 + 3x - 2 , dx usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, um polinômio no numerador dividido por outro no denominador. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^2 + 3x - 2. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 times (-2) = -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1. Então, reescrevemos o polinômio assim:
2x^2 + 4x - x - 2 = (2x^2 + 4x) + (-x - 2)
Agora, fatoramos:
2x(x + 2) -1(x + 2) = (2x - 1)(x + 2)
Então, o denominador fatora em (2x - 1)(x + 2).

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração 2x + 1(2x - 1)(x + 2) como a soma de duas frações parciais:
2x + 1(2x - 1)(x + 2) = A2x - 1 + Bx + 2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para descobrir A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (2x - 1)(x + 2):
2x + 1 = A(x + 2) + B(2x - 1)
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
2x + 1 = A x + 2A + 2B x - B
2x + 1 = (A + 2B)x + (2A - B)
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Para x: A + 2B = 2
  • Para o termo constante: 2A - B = 1
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação: A = 2 - 2B
Substituindo na segunda equação:
2(2 - 2B) - B = 1
4 - 4B - B = 1
4 - 5B = 1
-5B = -3
B = 35
Agora, substituindo B na expressão de A:
A = 2 - 2(35) = 2 - 65 = 45

Passo 5

Agora que temos A = 45 e B = 35, podemos reescrever a integral original:
integral 2x + 12x^2 + 3x - 2 , dx = integral ( 452x - 1 + 35x + 2 ) , dx
Vamos separar as integrais:
45 integral 12x - 1 , dx + 35 integral 1x + 2 , dx
Agora, resolvemos cada integral:
  1. integral 12x - 1 , dx = 12 ln |2x - 1| + C
  2. integral 1x + 2 , dx = ln |x + 2| + C
Então, juntando tudo:
45 cdot 12 ln |2x - 1| + 35 ln |x + 2| + C = 25 ln |2x - 1| + 35 ln |x + 2| + C

Resposta

A integral é dada por:
integral 2x + 12x^2 + 3x - 2 , dx = 25 ln |2x - 1| + 35 ln |x + 2| + C

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