Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, um polinômio no numerador dividido por outro no denominador. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão 3. Esses números são 4 e -1. Então, reescrevemos o polinômio assim:
Agora, fatoramos:
Então, o denominador fatora em
.
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração
como a soma de duas frações parciais:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para descobrir
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
: - Para o termo constante:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a integral original:
Vamos separar as integrais:
Agora, resolvemos cada integral:
Então, juntando tudo:
Resposta
A integral é dada por: