Resolva as seguintes equações diferenciais:
(2 pontos )(5 x+4 y) d x+\left(4 x-8 y^{3}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(5x+4y)\,dx + \bigl(4x - 8y^3\bigr)\,dy = 0
e pede sua solução geral. O conteúdo de matéria é equação diferencial exata. Para resolver, vamos identificar
M(x,y)=5x+4y e N(x,y)=4x-8y^3,
verificar a condição de exatidão \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} e, se for exata, encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que d\psi=M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(5x+4y) =4, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(4x-8y^3) =4.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter \psi(x,y), integramos M em relação a x, considerando uma “constante” de integração que depende só de y:
\psi(x,y) =\int (5x+4y)\,dx =\frac{5x^2}{2}+4xy + h(y).

Passo 4

Agora diferenciamos \psi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \psi}{\partial y} =4x + h'(y) \overset{!}{=}4x -8y^3 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-8y^3.
Integramos h'(y) para achar h(y):
h(y)=\int -8y^3\,dy=-2y^4.

Passo 5

Substituindo h(y) em \psi, obtemos a solução implícita
\psi(x,y) =\frac{5x^2}{2}+4xy-2y^4 = C,
onde C é constante arbitrária. Podemos também multiplicar tudo por 2 para simplificar a aparência:
5x^2+8xy-4y^4 = C'.

Resposta

\frac{5x^2}{2}+4xy-2y^4 = C.

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