Resolva as seguintes equações diferenciais:
pontos
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede sua solução geral. O conteúdo de matéria é equação diferencial exata. Para resolver, vamos identificar
e
,
verificar a condição de exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial
tal que
.
verificar a condição de exatidão
Passo 2
Calcular as derivadas parciais para testar exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para obter
, integramos
em relação a
, considerando uma “constante” de integração que depende só de
:
Passo 4
Agora diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Integramos
para achar
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a solução implícita
onde
é constante arbitrária. Podemos também multiplicar tudo por
para simplificar a aparência: