Resolva as integrais.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Primeiro passo simples: tirar a constante fora da integral. Isso é permitido porque, para qualquer constante
e função
,
Aplicando com
e
, obtemos
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função escolhida que será diferenciada (resultando em ); -
é o resto do integrando que será integrado (resultando em ).
Aquisignifica a diferencial de (ou seja ) e é uma antiderivada de (ou seja ). A ideia é escolher de modo que seja mais simples que , e escolher que seja fácil de integrar.
Passo 4
Escolhemos
Porque
é uma função polinomial que fica mais simples ao derivar, e
é fácil de integrar. Calculamos:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando o sinal:
A integral de
é
, então uma primitiva é
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada. Seja
Então
Calculamos cada valor:
pois
e
.
pois
e
.
Logo
Logo
Passo 7
Voltando à constante que tiramos no começo, multiplicamos por
: