Resolva as integrais.
\int_{0}^{\pi} \frac{x}{3} \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \frac{x}{3}\sin x\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{x}{3}\sin x,\qquad \text{intervalo: }[0,\pi].
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Primeiro passo simples: tirar a constante fora da integral. Isso é permitido porque, para qualquer constante c e função f,
\int_a^b c\,f(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx.
Aplicando com c=\frac{1}{3} e f(x)=x\sin x, obtemos
\int_{0}^{\pi} \frac{x}{3}\sin x\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular \int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx. Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função escolhida que será diferenciada (resultando em du);
  • dv é o resto do integrando que será integrado (resultando em v).
    Aqui du significa a diferencial de u (ou seja du = u'(x)\,dx) e v é uma antiderivada de dv (ou seja v' = dv/dx). A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples que u, e escolher dv que seja fácil de integrar.

Passo 4

Escolhemos
u = x,\qquad dv = \sin x\,dx.
Porque x é uma função polinomial que fica mais simples ao derivar, e \sin x é fácil de integrar. Calculamos:
du = dx,\qquad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x\sin x\,dx = u v - \int v\,du = -x\cos x - \int (-\cos x)\,dx.
Simplificando o sinal:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
A integral de \cos x é \sin x, então uma primitiva é
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada. Seja
F(x) = -x\cos x + \sin x.
Então
\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = F(\pi)-F(0).
Calculamos cada valor:
F(\pi) = -\pi\cos\pi + \sin\pi = -\pi(-1) + 0 = \pi,
pois \cos\pi = -1 e \sin\pi = 0.
F(0) = -0\cdot\cos 0 + \sin 0 = 0 + 0 = 0,
pois \cos 0 = 1 e \sin 0 = 0.
Logo
\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = \pi - 0 = \pi.

Passo 7

Voltando à constante que tiramos no começo, multiplicamos por \frac{1}{3}:
\int_{0}^{\pi} \frac{x}{3}\sin x\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = \frac{1}{3}\cdot\pi = \frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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