Resolva as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função integranda é
. - A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha do método): quando vemos um expoente que é uma função composta, como
, e multiplicado por uma potência de
cujo derivado aparece (a derivada de
é proporcional a
), o caminho natural é usar substituição (mudança de variável). Vou aplicar a substituição
Agora derivamos em relação a
para relacionar
com
:
Isolando
obtemos
Passo 3
Agora trocamos a variável na integral e também os limites (importante: ao fazer integral definida com substituição, atualizamos os limites usando a relação
):
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Substituindo
e
na integral,
Fatorando constantes:
Simplificando a fração
, obtemos
Passo 4
Agora integramos em
. A primitiva de
é
. Então
Podemos escrever também
, ficando equivalente
Passo 5
Resumo didático e dica rápida para decorar o padrão: sempre que a integral tiver a forma
uma boa substituição é
, porque
será proporcional a
. No caso desta questão,
,
, e isso fez a substituição funcionar de maneira direta. Um exemplo análogo (indefinido) é
pois
dá
.