Resolva as integrais.
\int_{0}^{1} 9 x^{3} e^{3 x^{4}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} 9 x^{3} e^{3 x^{4}-1}\, d x.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • A função integranda é 9 x^{3} e^{3 x^{4}-1}.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha do método): quando vemos um expoente que é uma função composta, como 3 x^{4}-1, e multiplicado por uma potência de x cujo derivado aparece (a derivada de x^{4} é proporcional a x^{3}), o caminho natural é usar substituição (mudança de variável). Vou aplicar a substituição
u = 3 x^{4} - 1.
Agora derivamos em relação a x para relacionar d u com d x:
\frac{d u}{d x} = 12 x^{3}\quad\Rightarrow\quad d u = 12 x^{3}\, d x.
Isolando x^{3}\, d x obtemos
x^{3}\, d x = \frac{d u}{12}.

Passo 3

Agora trocamos a variável na integral e também os limites (importante: ao fazer integral definida com substituição, atualizamos os limites usando a relação u=3x^{4}-1):
  • Quando x=0, temos u = 3\cdot 0^{4}-1 = -1.
  • Quando x=1, temos u = 3\cdot 1^{4}-1 = 2.
Substituindo x^{3}\, d x = \dfrac{d u}{12} e 3 x^{4}-1 = u na integral,
\int_{0}^{1} 9 x^{3} e^{3 x^{4}-1}\, d x = \int_{u=-1}^{u=2} 9\left(\frac{d u}{12}\right) e^{u}.
Fatorando constantes:
\int_{-1}^{2} \frac{9}{12} e^{u}\, d u.
Simplificando a fração \dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}, obtemos
\int_{-1}^{2} \frac{3}{4} e^{u}\, d u.

Passo 4

Agora integramos em u. A primitiva de e^{u} é e^{u}. Então
\int_{-1}^{2} \frac{3}{4} e^{u}\, d u = \frac{3}{4}\left[ e^{u} \right]_{u=-1}^{u=2} = \frac{3}{4}\left( e^{2} - e^{-1} \right).
Podemos escrever também e^{-1} = \dfrac{1}{e}, ficando equivalente
\frac{3}{4}\left(e^{2} - \frac{1}{e}\right).

Passo 5

Resumo didático e dica rápida para decorar o padrão: sempre que a integral tiver a forma
\int x^{n-1} e^{a x^{n} + b}\, d x
uma boa substituição é u = a x^{n} + b, porque d u será proporcional a x^{n-1}\, d x. No caso desta questão, n=4, a=3, e isso fez a substituição funcionar de maneira direta. Um exemplo análogo (indefinido) é
\int x^{3} e^{x^{4}}\, d x = \frac{1}{4} e^{x^{4}} + C,
pois u=x^{4} d u = 4 x^{3}\, d x.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}\left(e^{2}-e^{-1}\right)

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