Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
\int \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{dx}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}.
Informações dadas e observações úteis do enunciado:
\text{o integrando é a função racional } \frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)};éçã
o denominador fatorou-se em um fator linear \(x+1) e um quadrático irreduzível \(x^{2}+1);
a resposta deve ser uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando), mais uma constante de integração.

Passo 2

Vamos decompor a fração em frações parciais. A ideia é escrever
\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A, B e C são constantes a determinar. Observação didática: escolhemos esse formato porque para um fator linear usamos uma constante no numerador e para um quadrático irreduzível usamos um numerador de grau menor que 2, ou seja, Bx+C.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1).

Passo 3

Expandimos o lado direito para comparar coeficientes:
\begin{aligned} 1 &= A x^{2} + A + (Bx+C)(x+1) \\\ &= A x^{2} + A + Bx^{2} + Bx + Cx + C \\\ &= (A+B) x^{2} + (B+C) x + (A+C). \end{aligned}
Comparando coeficientes em ambos os lados (o lado esquerdo é 0\cdot x^{2}+0\cdot x + 1\)) obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] B+C = 0,\\[4pt] A+C = 1. \end{cases}
Resolvendo: de A+B=0\] segue \(B=-A. De B+C=0 segue C=-B=A. Substituindo em A+C=1 temos A+A=1, ou seja 2A=1, então
A=\tfrac{1}{2},\qquad B=-\tfrac{1}{2},\qquad C=\tfrac{1}{2}.]

Passo 4

Substituímos os coeficientes na decomposição:
\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{1/2}{x+1}+\frac{-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}}{x^{2}+1}.
Agora separamos os termos do numerador do segundo quociente:
\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.
Isto transforma a integral original numa soma de integrais mais simples que podemos calcular termo a termo.

Passo 5

Integramos termo a termo, explicando cada fórmula usada.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx: faça a substituição u=x+1, então du=dx e
\int \frac{1}{x+1}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C=\ln|x+1|+C.
Regra usada: \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx: faça a substituição v=x^{2}+1, então dv=2x\,dx, isto é x\,dx=\tfrac{1}{2}dv. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int \frac{1}{v}\cdot\frac{1}{2}\,dv=\tfrac{1}{2}\ln|v|+C=\tfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C.
Regra usada: quando o numerador é a derivada (ou constante múltipla) do denominador, obtemos logaritmo.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx: sabemos que a derivada de \arctan x é \tfrac{1}{1+x^{2}}, portanto
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x + C.
Juntando com os fatores constantes vindos da decomposição, temos:
\begin{aligned} \int \frac{dx}{(x+1)(x^{2}+1)} &= \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{2}\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx \\\ &= \frac{1}{2}\ln|x+1| - \frac{1}{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)\right) + \frac{1}{2}\arctan x + C \\\ &= \frac{1}{2}\ln|x+1| - \frac{1}{4}\ln\left(x^{2}+1\right) + \frac{1}{2}\arctan x + C. \end{aligned}

Passo 6

Podemos, se quisermos, combinar os dois logaritmos num único logaritmo:
\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^{2}+1\right) =\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+1}\right),
logo outra forma equivalente da primitiva é
\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+1}\right)+\frac{1}{2}\arctan x + C.

Resposta

\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{2}\arctan x + C

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