Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas e observações úteis do enunciado:
o denominador fatorou-se em um fator linear
) e um quadrático irreduzível
);
a resposta deve ser uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando), mais uma constante de integração.
a resposta deve ser uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando), mais uma constante de integração.
Passo 2
Vamos decompor a fração em frações parciais. A ideia é escrever
onde
,
e
são constantes a determinar. Observação didática: escolhemos esse formato porque para um fator linear usamos uma constante no numerador e para um quadrático irreduzível usamos um numerador de grau menor que 2, ou seja,
.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 3
Expandimos o lado direito para comparar coeficientes:
Comparando coeficientes em ambos os lados (o lado esquerdo é
Resolvendo: de
. De
segue
. Substituindo em
temos
, ou seja
, então
Passo 4
Substituímos os coeficientes na decomposição:
Agora separamos os termos do numerador do segundo quociente:
Isto transforma a integral original numa soma de integrais mais simples que podemos calcular termo a termo.
Passo 5
Integramos termo a termo, explicando cada fórmula usada.
- Para
: faça a substituição , então e
Regra usada:
.
- Para
: faça a substituição , então , isto é . Assim
Regra usada: quando o numerador é a derivada (ou constante múltipla) do denominador, obtemos logaritmo.
- Para
: sabemos que a derivada de é , portanto
Juntando com os fatores constantes vindos da decomposição, temos:
Passo 6
Podemos, se quisermos, combinar os dois logaritmos num único logaritmo:
logo outra forma equivalente da primitiva é