Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada. Em outras palavras, precisamos encontrar uma função
tal que
. O que nos foi dado:
Pergunta: calcular essa integral e apresentar a primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Vou decompor a fração em soma de parcelas mais simples para integrar termo a termo — essa é a estratégia pedida. Escrevemos
Logo,
Agora vamos tratar cada integral separadamente.
Passo 3
Primeira integral:
.
Técnica: substituição simples. Definimos a nova variável
Então
Substituindo na integral:
Integramos usando a regra da potência:
para
. Aqui
, então
Voltando a
:
Passo 4
Segunda integral:
.
Precisamos calcular
. Vou mostrar um método didático (substituição trigonométrica), que é fácil de lembrar: usar
. Explico passo a passo.
Defina
. Então
e
Substituindo na integral:
Agora integramos
. Usamos a identidade de redução
Assim
Estas integrais são básicas:
Portanto
Agora voltamos para
. Como
, temos
. Além disso,
Com
temos
e
. Então
Substituindo em
:
Portanto, multiplicando por
(pois nossa integral original tinha o fator
):
Passo 5
Agora juntamos os resultados das duas parcelas (Passo 3 e Passo 4):
Somando as frações racionais que têm o mesmo denominador
:
Logo uma forma simplificada da primitiva é
Essa é a antiderivada geral;
é a constante de integração.