Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
\int \frac{x+2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada. Em outras palavras, precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x+2}{(x^{2}+1)^{2}}. O que nos foi dado:
\int \frac{x+2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Pergunta: calcular essa integral e apresentar a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Vou decompor a fração em soma de parcelas mais simples para integrar termo a termo — essa é a estratégia pedida. Escrevemos
\frac{x+2}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}+\frac{2}{(x^{2}+1)^{2}}.
Logo,
\int \frac{x+2}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx+\int \frac{2}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Agora vamos tratar cada integral separadamente.

Passo 3

Primeira integral: \displaystyle \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Técnica: substituição simples. Definimos a nova variável
u=x^{2}+1.
Então
du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral:
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Integramos usando a regra da potência: \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aqui n=-2, então
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)=-\frac{1}{2}u^{-1}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}.
Voltando a x:
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.

Passo 4

Segunda integral: \displaystyle \int \frac{2}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=2\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Precisamos calcular \displaystyle \int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx. Vou mostrar um método didático (substituição trigonométrica), que é fácil de lembrar: usar x=\tan\theta. Explico passo a passo.
Defina x=\tan\theta. Então
dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
e
x^{2}+1=\tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int \frac{1}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Agora integramos \displaystyle \int \cos^{2}\theta\,d\theta. Usamos a identidade de redução
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Assim
\int \cos^{2}\theta\,d\theta=\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\int d\theta+\frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta.
Estas integrais são básicas:
\frac{1}{2}\int d\theta=\frac{\theta}{2}, \qquad \frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2\theta)}{2}=\frac{\sin(2\theta)}{4}.
Portanto
\int \cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}+C.
Agora voltamos para x. Como x=\tan\theta, temos \theta=\arctan x. Além disso,
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Com x=\tan\theta temos \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} e \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}. Então
\sin(2\theta)=2\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Substituindo em \dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin(2\theta)}{4}:
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{4}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}+C =\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(1+x^{2})}+C.
Portanto, multiplicando por 2 (pois nossa integral original tinha o fator 2):
2\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=2\left(\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(1+x^{2})}\right)+C =\arctan x+\frac{x}{1+x^{2}}+C.

Passo 5

Agora juntamos os resultados das duas parcelas (Passo 3 e Passo 4):
\int \frac{x+2}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}\right) +\left(\arctan x+\frac{x}{1+x^{2}}\right)+C.
Somando as frações racionais que têm o mesmo denominador 1+x^{2}:
-\frac{1}{2(1+x^{2})}+\frac{x}{1+x^{2}}=\frac{-\tfrac{1}{2}+x}{1+x^{2}}=\frac{2x-1}{2(1+x^{2})}.
Logo uma forma simplificada da primitiva é
\boxed{\frac{2x-1}{2(1+x^{2})}+\arctan x + C.}
Essa é a antiderivada geral; C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{2x-1}{2(1+x^{2})}+\arctan x + C

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