Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais:
Devemos fazer a decomposição do integrando e integrar termo a termo, mostrando os passos.
Passo 2
Idéia para decompor: notar que a derivada do denominador aparece próxima ao numerador. Calcule a derivada do denominador:
Como o numerador é
, podemos escrever
como a soma de
(a derivada do denominador) mais uma constante. Faça a separação:
Passo 3
Usando a separação do numerador, escrevemos o integrando como soma de dois termos:
Portanto a integral se divide em duas integrais:
Isto é a “integração termo a termo”.
Passo 4
Primeira integral: use a fórmula básica
. Aqui
e
. Assim
(Como
para todo
, poderíamos dispensar as barras de valor absoluto, mas mantemos por rigor.)
Passo 5
Segunda integral: temos
Primeiro completamos o quadrado no denominador:
Então a integral fica
Agora usamos a substituição simples
, com
. A integral transforma-se em
Conhecemos a primitiva padrão
. Portanto
Passo 6
Juntando as duas partes (e agrupando as constantes de integração em uma só constante
), obtemos a primitiva da integral original: