Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
\int \frac{2 x+7}{x^{2}+4 x+5} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{2x+7}{x^{2}+4x+5}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
\text{numerador: }2x+7,\qquad \text{denominador: }x^{2}+4x+5.
Devemos fazer a decomposição do integrando e integrar termo a termo, mostrando os passos.

Passo 2

Idéia para decompor: notar que a derivada do denominador aparece próxima ao numerador. Calcule a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}+4x+5\big)=2x+4.
Como o numerador é 2x+7, podemos escrever 2x+7 como a soma de 2x+4 (a derivada do denominador) mais uma constante. Faça a separação:
2x+7=(2x+4)+3.

Passo 3

Usando a separação do numerador, escrevemos o integrando como soma de dois termos:
\frac{2x+7}{x^{2}+4x+5}=\frac{2x+4}{x^{2}+4x+5}+\frac{3}{x^{2}+4x+5}.
Portanto a integral se divide em duas integrais:
\int \frac{2x+7}{x^{2}+4x+5}\,dx=\int \frac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\,dx+\int \frac{3}{x^{2}+4x+5}\,dx.
Isto é a “integração termo a termo”.

Passo 4

Primeira integral: use a fórmula básica \displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C. Aqui f(x)=x^{2}+4x+5 e f'(x)=2x+4. Assim
\int \frac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\,dx=\ln\big|x^{2}+4x+5\big|+C_1.
(Como x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1>0 para todo x, poderíamos dispensar as barras de valor absoluto, mas mantemos por rigor.)

Passo 5

Segunda integral: temos
\int \frac{3}{x^{2}+4x+5}\,dx.
Primeiro completamos o quadrado no denominador:
x^{2}+4x+5=(x^{2}+4x+4)+1=(x+2)^{2}+1.
Então a integral fica
\int \frac{3}{(x+2)^{2}+1}\,dx.
Agora usamos a substituição simples u=x+2, com du=dx. A integral transforma-se em
3\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du.
Conhecemos a primitiva padrão \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du=\arctan(u)+C. Portanto
3\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du=3\arctan(u)+C_2=3\arctan(x+2)+C_2.

Passo 6

Juntando as duas partes (e agrupando as constantes de integração em uma só constante C), obtemos a primitiva da integral original:
\int \frac{2x+7}{x^{2}+4x+5}\,dx=\ln\big|x^{2}+4x+5\big|+3\arctan(x+2)+C.

Resposta

\ln\big|x^{2}+4x+5\big|+3\arctan(x+2)+C

Exercícios relacionados