Resolva as integrais a seguir.
integral1^2[pi-3 z+z^2+e^z+cos (pi z)+1z] d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de 1 a 2 da função pi - 3z + z^2 + e^z + cos(pi z) + 1z em relação a z. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, onde vamos precisar usar as regras de integração para funções básicas e algumas propriedades especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes para facilitar. A integral dada pode ser dividida da seguinte forma:
integral1^2 [pi - 3z + z^2 + e^z + cos(pi z) + 1z] dz = integral1^2 pi , dz - integral1^2 3z , dz + integral1^2 z^2 , dz + integral1^2 e^z , dz + integral1^2 cos(pi z) , dz + integral1^2 1z , dz

Passo 3

Vamos começar integrando cada termo separadamente.
  1. Integral de pi:
integral pi , dz = pi z + C
Aqui, pi é uma constante, e a integral de uma constante em relação a z é a constante vezes z.
  1. Integral de -3z:
integral -3z , dz = -32 z^2 + C
Usamos a regra da potência: integral z^n , dz = z^n+1n+1 + C.
  1. Integral de z^2:
integral z^2 , dz = 13 z^3 + C
Novamente, aplicamos a regra da potência.
  1. Integral de e^z:
integral e^z , dz = e^z + C
A integral de e^z é simplesmente e^z.
  1. Integral de cos(pi z):
integral cos(pi z) , dz = 1pi sin(pi z) + C
Aqui, usamos a substituição: se u = pi z, então du = pi dz, então integral cos(u) dupi = 1pi sin(u) + C = 1pi sin(pi z) + C.
  1. Integral de 1z:
integral 1z , dz = ln|z| + C
A integral de 1/z é o logaritmo natural de z.

Passo 4

Agora, vamos somar todas as integrais e avaliar de 1 a 2:
integral1^2 [pi - 3z + z^2 + e^z + cos(pi z) + 1z] dz &= [ pi z - 32 z^2 + 13 z^3 + e^z + 1pi sin(pi z) + ln|z| ]1^2 &= ( pi(2) - 32(2)^2 + 13(2)^3 + e^2 + 1pi sin(2pi) + ln(2) ) & - ( pi(1) - 32(1)^2 + 13(1)^3 + e^1 + 1pi sin(pi) + ln(1) )

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
  1. Para z = 2:
pi(2) = 2pi
-32(2)^2 = -32 times 4 = -6
13(2)^3 = 13 times 8 = 83
e^2 permanece como está á
1pi sin(2pi) = 1pi times 0 = 0 (pois sin(2pi) = 0)
ln(2) permanece como está á
  1. Para z = 1:
pi(1) = pi
-32(1)^2 = -32
13(1)^3 = 13
e^1 = e
1pi sin(pi) = 1pi times 0 = 0 (pois sin(pi) = 0)
ln(1) = 0

Passo 6

Substituindo de volta:
&( 2pi - 6 + 83 + e^2 + 0 + ln(2) ) &- ( pi - 32 + 13 + e + 0 + 0 ) &= 2pi - 6 + 83 + e^2 + ln(2) - pi + 32 - 13 - e &= (2pi - pi) + (-6 + 32) + (83 - 13) + e^2 - e + ln(2) &= pi - 92 + 73 + e^2 - e + ln(2)

Resposta

A integral avaliada de 1 a 2 é:
pi - 92 + 73 + e^2 - e + ln(2)
Para simplificar, podemos combinar os termos constantes:
pi - 276 + 146 + e^2 - e + ln(2) = pi - 133 + e^2 - e + ln(2)
Então, o valor final da integral é:
pi - 133 + e^2 - e + ln(2)

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