Resolva as integrais a seguir.
integral cos (x) sen(x)5+sen^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos(x) sin(x)5 + sin^2(x) , dx. Esse problema está relacionado ao estudo de integrais que envolvem funções trigonométricas e manipulação algébrica. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a integral, vemos que temos sin(x) no numerador e no denominador. Vamos definir uma nova variável u igual a sin(x):
u = sin(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du em termos de dx. Derivando ambos os lados em relação a x:
dudx = cos(x) implies du = cos(x) , dx
Perceba que cos(x) , dx está presente na integral original, então podemos substituir:
integral cos(x) sin(x)5 + sin^2(x) , dx = integral u5 + u^2 , du

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral u5 + u^2 , du. Podemos resolver essa integral usando uma substituição adicional ou reconhecendo que a derivada do denominador está no numerador. A integral será:
integral u5 + u^2 , du = 12 ln|5 + u^2| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, vamos voltar à variável original x substituindo u = sin(x):
12 ln|5 + sin^2(x)| + C

Resposta

A integral integral cos(x) sin(x)5 + sin^2(x) , dx é igual a:
12 ln(5 + sin^2(x)) + C

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