Resolva as integrais a seguir.
integral0^1(5-z)(2+z^2) d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^1(5 - z)(2 + z^2) , dz. Aqui, estamos entrando no mundo do Cálculo Integral, especificamente trabalhando com integrais de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar expandir o produto dentro da integral e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto (5 - z)(2 + z^2). Isso facilita a integração, já que integraremos cada termo separadamente.
(5 - z)(2 + z^2) = 5 cdot 2 + 5 cdot z^2 - z cdot 2 - z cdot z^2 = 10 + 5z^2 - 2z - z^3

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral0^1 (10 + 5z^2 - 2z - z^3) , dz
Vamos integrar cada termo individualmente.

Passo 4

Integrando termo a termo:
  1. integral 10 , dz = 10z
  2. integral 5z^2 , dz = 53z^3
  3. integral -2z , dz = -z^2
  4. integral -z^3 , dz = -14z^4
Então, a integral fica:
10z + 53z^3 - z^2 - 14z^4 g|0^1

Passo 5

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração, de 0 a 1.
Para z = 1:
10(1) + 53(1)^3 - (1)^2 - 14(1)^4 = 10 + 53 - 1 - 14
Convertendo para frações com denominador comum (12):
10 = 12012, 53 = 2012, -1 = -1212, -14 = -312
Somando tudo:
12012 + 2012 - 1212 - 312 = 12512
Para z = 0, todos os termos são zero.

Resposta

O valor da integral é 12512.

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