Resolva as integrais a seguir.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo integral para resolver:
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a integral. Vamos precisar identificar uma parte da integral que, ao substituir por uma variável nova, facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra integral que temos:
. A gente pode perceber que o numerador tem
, que é bem parecido com a derivada de
. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar.
Passo 3
Vamos escolher uma substituição. Vamos deixar
. Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
. A derivada de
é
, então temos:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Substituindo
e
, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a nova integral
. Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que o numerador é a derivada do denominador. Sabemos que:
Isso significa que podemos ajustar a integral para ficar mais fácil:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral resolvida é: