Resolva as integrais a seguir.
integral cos (x) sen(x)1+cos ^2(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo integral para resolver: integral cos(x) sin(x)1 + cos^2(x) , dx. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a integral. Vamos precisar identificar uma parte da integral que, ao substituir por uma variável nova, facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra integral que temos: integral cos(x) sin(x)1 + cos^2(x) , dx. A gente pode perceber que o numerador tem cos(x) sin(x), que é bem parecido com a derivada de cos(x). Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos escolher uma substituição. Vamos deixar u = cos(x). Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir dx. A derivada de cos(x) é - sin(x), então temos:
du = -sin(x) , dx Rightarrow sin(x) , dx = -du

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Substituindo u = cos(x) e sin(x) , dx = -du, a integral fica:
integral cos(x) sin(x)1 + cos^2(x) , dx = integral u cdot (-du)1 + u^2 = -integral u1 + u^2 , du

Passo 5

Vamos resolver a nova integral - integral u1 + u^2 , du. Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que o numerador é a derivada do denominador. Sabemos que:
ddu (1 + u^2) = 2u
Isso significa que podemos ajustar a integral para ficar mais fácil:
- integral u1 + u^2 , du = -12 integral 2u1 + u^2 , du = -12 ln|1 + u^2| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original x. Lembrando que u = cos(x), substituímos de volta:
-12 ln|1 + u^2| + C = -12 ln(1 + cos^2(x)) + C

Resposta

A integral resolvida é:
integral cos(x) sin(x)1 + cos^2(x) , dx = -12 ln(1 + cos^2(x)) + C

Exercícios relacionados