Resolva as integrais trigonométricas:
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-b^{2} x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}\,dx.
O conteúdo envolvido é substituição trigonométrica, usando a identidade \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \frac{a}{b}\sin\theta.
Dessa forma,
dx = \frac{a}{b}\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2}-b^{2}\frac{a^{2}}{b^{2}}\sin^{2}\theta} = a\cos\theta.

Passo 3

Substituindo no integrando, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{a\cos\theta}\,\Bigl(\frac{a}{b}\cos\theta\,d\theta\Bigr) = \int \frac{1}{b}\,d\theta.

Passo 4

A integral em \theta é direta:
\int \frac{1}{b}\,d\theta = \frac{1}{b}\,\theta + C.

Passo 5

Volta à variável x: \sin\theta = \frac{b\,x}{a} implica \theta = \arcsin\bigl(\tfrac{b\,x}{a}\bigr).
Logo,
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}\,dx = \frac{1}{b}\arcsin\Bigl(\frac{b\,x}{a}\Bigr)+C.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}\,dx = \frac{1}{b}\arcsin\Bigl(\frac{b\,x}{a}\Bigr)+C.

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