Determine as integrais seguintes usando a técnica de integração por partes:
\int t^{3} \cos t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int t^{3}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
usando integração por partes. Vamos usar uma substituição para simplificar a expressão antes de aplicar partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = \frac{du}{2}.
Além disso, t^{2}=u, então
t^{3}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt = t^{2}\bigl(\,t\,dt\bigr)\cos(u) = u\cos(u)\,\frac{du}{2} =\frac12\int u\cos(u)\,du.

Passo 3

Agora integramos
\int u\cos(u)\,du
por partes. Escolhemos
A = u,\quad dA = du, \qquad dB = \cos(u)\,du,\quad B = \sin(u).
Pelo método de partes:
\int u\cos(u)\,du = u\sin(u) - \int 1\cdot\sin(u)\,du = u\sin(u) + \cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à integral original e à variável t:
\frac12\int u\cos(u)\,du =\frac12\bigl(u\sin(u)+\cos(u)\bigr)+C =\frac12\bigl(t^{2}\sin(t^{2})+\cos(t^{2})\bigr)+C.

Resposta

\int t^{3}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt =\frac12\bigl(t^{2}\sin(t^{2})+\cos(t^{2})\bigr)+C.

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