Resolva as integrais trigonométricas:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2} x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais envolvendo raiz quadrada de soma de quadrados. Vamos usar uma manipulação algébrica para decompor o numerador de modo a separar a integral em duas partes conhecidas.

Passo 2

Observamos que
x^{2} =\frac{1}{b^{2}}\bigl(a^{2}+b^{2}x^{2}\bigr)-\frac{a^{2}}{b^{2}}.
Logo,
\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}} =\frac{1}{b^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}} -\frac{a^{2}}{b^{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}.
Portanto a integral se separa em
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,dx =\frac{1}{b^{2}}\int \sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}\,dx -\frac{a^{2}}{b^{2}}\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Para a primeira integral usamos a fórmula padrão
\int \sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}} +\frac{a^{2}}{2b}\ln\bigl|b x+\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}\bigr| + C_{1}.

Passo 4

Para a segunda integral sabemos que
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}} =\frac{1}{b}\ln\bigl|b x+\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}\bigr| + C_{2}.

Passo 5

Agora voltamos à nossa soma:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,dx =\frac{1}{b^{2}}\Bigl[ \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}} +\frac{a^{2}}{2b}\ln\bigl|b x+\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}\bigr| \Bigr] -\frac{a^{2}}{b^{2}}\Bigl[ \frac{1}{b}\ln\bigl|b x+\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}\bigr| \Bigr] + C.
Reunindo os termos de logaritmo:
\frac{a^{2}}{2b^{3}}-\frac{a^{2}}{b^{3}} =-\frac{a^{2}}{2b^{3}}.
Fica então
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,dx =\frac{x}{2b^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}} -\frac{a^{2}}{2b^{3}}\ln\bigl|b x+\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}\bigr| + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,dx =\frac{x}{2b^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}} -\frac{a^{2}}{2b^{3}}\ln\bigl|b x+\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}\bigr| + C. }

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