Resolva usando frações parciais:
\int \frac{x^{5}+9 x^{3}+1}{\left(x^{3}+9 x\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{5} + 9x^{3} + 1}{x^{3} + 9x}\,dx
usando frações parciais. Vamos precisar de divisão de polinômios para separar parte inteira e parte própria, depois decompor a fração própria e integrar cada parcela.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e fazemos a divisão polinomial:
x^{3} + 9x = x\,(x^{2} + 9),
e dividindo x^{5}+9x^{3}+1 por x^{3}+9x obtemos
\frac{x^{5}+9x^{3}+1}{x^{3}+9x} = x^{2} + \frac{1}{x\,(x^{2}+9)}.
Logo
\int \frac{x^{5} + 9x^{3} + 1}{x^{3} + 9x}\,dx = \int x^{2}\,dx + \int \frac{1}{x\,(x^{2}+9)}\,dx.

Passo 3

Para a fração própria usamos a forma
\frac{1}{x\,(x^{2}+9)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+9}.
Multiplicando por x\,(x^{2}+9)
1 = A\,(x^{2}+9) + (Bx + C)\,x = (A + B)\,x^{2} + C\,x + 9A.
Comparando coeficientes:
A + B = 0,\quad C = 0,\quad 9A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{9},\;B = -\tfrac{1}{9},\;C = 0.
Logo
\frac{1}{x\,(x^{2}+9)} = \frac{1/9}{x} - \frac{(1/9)\,x}{x^{2}+9}.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int x^{2}\,dx + \int\Bigl(\tfrac{1}{9}\,\frac{1}{x} - \tfrac{1}{9}\,\frac{x}{x^{2}+9}\Bigr)dx.
Agora integramos cada termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{x}{x^{2}+9}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+9\bigr).
Portanto
\int \frac{x^{5} + 9x^{3} + 1}{x^{3} + 9x}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{9}\ln\lvert x\rvert - \frac{1}{9}\,\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+9\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{9}\ln\lvert x\rvert - \frac{1}{18}\ln\bigl(x^{2}+9\bigr) + C }

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