Resolva as integrais usando o método de frações parciais.
integral0^1 x^3x^2+2 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^1 x^3x^2+2x+1 , dx. Aqui, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos garantir que o grau do numerador seja menor que o do denominador; se não for, fazemos uma divisão polinomial primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus dos polinômios. O numerador x^3 é de grau 3 e o denominador x^2+2x+1 é de grau 2. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir x^3 por x^2+2x+1:
x^3x^2+2x+1 = x - 2 + 2x -1x^2+2x+1
Isso significa que nossa integral agora fica:
integral0^1 ( x - 2 + 2x -1x^2+2x+1 ) dx

Passo 4

Agora, vamos focar na parte fracionária 2x -1x^2+2x+1. Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2+2x+1 = (x+1)^2
Então, nossa fração fica:
2x -1(x+1)^2

Passo 5

Para aplicar frações parciais, assumimos que podemos escrever 2x -1(x+1)^2 como:
Ax+1 + B(x+1)^2
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por (x+1)^2 para eliminar os denominadores:
2x -1 = A(x+1) + B
Expandindo o lado direito:
2x -1 = Ax + A + B

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para x:
2 = A
Para a constante:
-1 = A + B
Já sabemos que A = 2, então substituímos na segunda equação:
-1 = 2 + B implies B = -3

Passo 8

Com A = 2 e B = -3, a fração parcial fica:
2x -1(x+1)^2 = 2x+1 - 3(x+1)^2

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral original:
integral0^1 ( x - 2 + 2x+1 - 3(x+1)^2 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 10

Integrando termo a termo:
integral x , dx = 12x^2
integral -2 , dx = -2x
integral 2x+1 , dx = 2 ln|x+1|
integral -3(x+1)^2 , dx = 3x+1

Passo 11

Agora, avaliamos a integral de 0 a 1:
[ 12x^2 - 2x + 2 ln|x+1| + 3x+1 ]0^1

Passo 12

Calculando em x = 1:
12(1)^2 - 2(1) + 2 ln(2) + 32 = 12 - 2 + 2 ln(2) + 32 = (-12 + 32) + 2 ln(2) = 1 + 2 ln(2)
Calculando em x = 0:
12(0)^2 - 2(0) + 2 ln(1) + 31 = 0 - 0 + 0 + 3 = 3

Passo 13

Subtraindo os valores:
(1 + 2 ln(2)) - 3 = -2 + 2 ln(2)

Resposta

A integral integral0^1 x^3x^2+2x+1 , dx é igual a -2 + 2 ln(2).

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