Resolva as integrais usando o método de frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos garantir que o grau do numerador seja menor que o do denominador; se não for, fazemos uma divisão polinomial primeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os graus dos polinômios. O numerador
é de grau 3 e o denominador
é de grau 2. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Passo 3
Vamos dividir
por
:
Isso significa que nossa integral agora fica:
Passo 4
Agora, vamos focar na parte fracionária
. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, nossa fração fica:
Passo 5
Para aplicar frações parciais, assumimos que podemos escrever
como:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para a constante:
Já sabemos que
, então substituímos na segunda equação:
Passo 8
Com
e
, a fração parcial fica:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral original:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 10
Integrando termo a termo:
Passo 11
Agora, avaliamos a integral de 0 a 1:
Passo 12
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 13
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral
é igual a
.