Resolva as integrais usando o método de frações parciais.
integral x+1x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de x + 1x^2 - 4 usando o método de frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração x + 1(x - 2)(x + 2) como a soma de duas frações parciais:
x + 1(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 2)(x + 2) para eliminar as frações:
x + 1 = A(x + 2) + B(x - 2)

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Podemos fazer isso escolhendo valores estratégicos para x que simplifiquem a equação.
  • Se x = 2:
2 + 1 = A(2 + 2) + B(2 - 2) 3 = 4A A = 34
  • Se x = -2:
-2 + 1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) -1 = -4B B = 14

Passo 6

Agora que temos A = 34 e B = 14, podemos reescrever a fração original:
x + 1x^2 - 4 = 3/4x - 2 + 1/4x + 2

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 3/4x - 2 dx + integral 1/4x + 2 dx
A integral de 1x é ln|x|, então:
34 ln|x - 2| + 14 ln|x + 2| + C

Resposta

A integral de x + 1x^2 - 4 dx é:
34 ln|x - 2| + 14 ln|x + 2| + C

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