Resolva as integrais usando o método de frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
usando o método de frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração
como a soma de duas frações parciais:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Podemos fazer isso escolhendo valores estratégicos para
que simplifiquem a equação.
- Se
:
- Se
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de
é
, então:
Resposta
A integral de
é: