Resolva a integral integral tan [ln (x+raiz1+x^2)]raiz1+x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tanl(lnl(x+raiz1+x^2r)r)raiz1+x^2,dx
O conteúdo usado será substituição de variável; em particular, vamos reconhecer que
lnl(x+raiz1+x^2r) é exatamente a função arsinh(x), o que sugere a substituição
t = lnl(x+raiz1+x^2r)

Passo 2

Fazendo a substituição
t = lnl(x+raiz1+x^2r),
temos
dt = ddxl[lnl(x+raiz1+x^2r)r],dx = 1 + dfracxraiz1+x^2,x+raiz1+x^2,,dx = 1raiz1+x^2,dx
Logo
dx = raiz1+x^2;dt
Substituindo na integral original, o integrando fica
tan(t)raiz1+x^2;dx = tan(t)raiz1+x^2;l(raiz1+x^2,dtr) = tan(t),dt
Portanto a integral original transforma-se em
integral tan(t),dt

Passo 3

Agora calculamos
integral tan(t),dt
Usamos que tan t = sin t/cos t e a primitiva é
integral tan(t),dt = -lnl|cos(t)r| + C

Passo 4

Retornando à variável x, lembrando que
t = lnl(x+raiz1+x^2r),
temos como antiderivada da integral dada
-ln!l|cosl(ln(x+raiz1+x^2)r)r| + C

Resposta

-ln!l|cosl(ln(x+raiz1+x^2)r)r| + C

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