Resolva a integral abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Está dada a integral indefinida
. - O que se pede é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida e apresentar o resultado com a constante de integração.
- Informações relevantes que o enunciado fornece: a função integranda é o produto de duas funções bem conhecidas,
e .
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes (explicação didática).
- A fórmula de integração por partes é
- Aqui
e são partes da integral escolhidas por nós; é a derivada de multiplicada por e é uma primitiva (uma antiderivada) de . - Por que isso funciona? É consequência da regra do produto para derivadas:
. Integrando ambos os lados obtemos a fórmula acima. - Vamos aplicar essa técnica duas vezes porque a integral de
ao aplicar partes gera outra integral semelhante, e aí podemos resolver por álgebra.
Passo 3
Definimos a integral que queremos calcular como
Escolha das partes para a primeira aplicação de integração por partes:
- Tome
. Então . - Tome
. Então .
Agora aplique a fórmula.
Passo 4
Aplicando integração por partes com as escolhas do passo anterior:
Coloquei em evidência que apareceu uma nova integral,
que ainda precisamos calcular. Vamos chamar essa nova integral de
:
Portanto a expressão obtida é
Passo 5
Agora calcule
também por integração por partes (segunda aplicação).
Escolha das partes para :
Escolha das partes para
- Tome
. Então . - Tome
. Então .
Aplique a fórmula.
Passo 6
Aplicando integração por partes para
:
Note que
. Ou seja,
Mas lembrando que
é justamente
. Então
Passo 7
Volte à expressão obtida no Passo 4, que era
, e substitua
da expressão do Passo 6:
Desenvolvendo os parênteses:
Agora temos uma equação em
. Some
aos dois lados para isolar:
Logo
Passo 8
Divida ambos os lados por
para obter
:
onde
é a constante de integração que aparece por se tratar de uma integral indefinida.
Passo 9
Verificação (rápida, para ganhar confiança): podemos derivar o resultado para ver se volta ao integrando.
- Derivando
:
use produto e derivadas, , . - O cálculo leva a
, confirmando que a primitiva está correta (a verificação completa é um exercício bom para fazer na prova, mas aqui ela confirma que encontramos a integral certa).