Resolva a integral abaixo:
\int e^{x} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Está dada a integral indefinida \displaystyle \int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx.
  • O que se pede é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida e apresentar o resultado com a constante de integração.
  • Informações relevantes que o enunciado fornece: a função integranda é o produto de duas funções bem conhecidas, \,e^{x}\, e \,\operatorname{sen}(x)\,.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes (explicação didática).
  • A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
  • Aqui u e dv são partes da integral escolhidas por nós; du é a derivada de u multiplicada por dx e v é uma primitiva (uma antiderivada) de dv.
  • Por que isso funciona? É consequência da regra do produto para derivadas: (uv)' = u'v + uv'. Integrando ambos os lados obtemos a fórmula acima.
  • Vamos aplicar essa técnica duas vezes porque a integral de e^{x}\operatorname{sen}(x) ao aplicar partes gera outra integral semelhante, e aí podemos resolver por álgebra.

Passo 3

Definimos a integral que queremos calcular como
I=\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Escolha das partes para a primeira aplicação de integração por partes:
  • Tome u=\operatorname{sen}(x). Então du=\cos(x)\,dx.
  • Tome dv=e^{x}\,dx. Então v=\int e^{x}\,dx=e^{x}.
    Agora aplique a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 4

Aplicando integração por partes com as escolhas do passo anterior:
I=\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx = \operatorname{sen}(x)\,e^{x} - \int e^{x}\cos(x)\,dx.
Coloquei em evidência que apareceu uma nova integral,
\int e^{x}\cos(x)\,dx,
que ainda precisamos calcular. Vamos chamar essa nova integral de J:
J=\int e^{x}\cos(x)\,dx.
Portanto a expressão obtida é
I=e^{x}\operatorname{sen}(x) - J.

Passo 5

Agora calcule J=\int e^{x}\cos(x)\,dx também por integração por partes (segunda aplicação).
Escolha das partes para J:
  • Tome u=\cos(x). Então du=-\operatorname{sen}(x)\,dx.
  • Tome dv=e^{x}\,dx. Então v=e^{x}.
    Aplique a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 6

Aplicando integração por partes para J:
J=\cos(x)\,e^{x} - \int e^{x}(-\operatorname{sen}(x))\,dx.
Note que -\int e^{x}(-\operatorname{sen}(x))\,dx = +\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx. Ou seja,
J = e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Mas lembrando que \int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx é justamente I. Então
J = e^{x}\cos(x) + I.

Passo 7

Volte à expressão obtida no Passo 4, que era I=e^{x}\operatorname{sen}(x) - J, e substitua J da expressão do Passo 6:
I = e^{x}\operatorname{sen}(x) - \bigl(e^{x}\cos(x) + I\bigr).
Desenvolvendo os parênteses:
I = e^{x}\operatorname{sen}(x) - e^{x}\cos(x) - I.
Agora temos uma equação em I. Some I aos dois lados para isolar:
I + I = e^{x}\operatorname{sen}(x) - e^{x}\cos(x).
Logo
2I = e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(x) - \cos(x)\bigr).

Passo 8

Divida ambos os lados por 2 para obter I:
I = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen}(x) - \cos(x)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração que aparece por se tratar de uma integral indefinida.

Passo 9

Verificação (rápida, para ganhar confiança): podemos derivar o resultado para ver se volta ao integrando.
  • Derivando \dfrac{e^{x}}{2}(\operatorname{sen}(x)-\cos(x)):
    use produto e derivadas \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x), \frac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).
  • O cálculo leva a e^{x}\operatorname{sen}(x), confirmando que a primitiva está correta (a verificação completa é um exercício bom para fazer na prova, mas aqui ela confirma que encontramos a integral certa).

Resposta

\frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)-\cos(x)\bigr)+C

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