Use a integração por partes para obter uma solução geral para a integral abaixo:
\int x^{n} \ln (x) d x
Com n diferente de 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{n} \ln(x)\,dx
usando integração por partes. Foi dado que n é diferente de 1. Informação importante que extraí do enunciado:
\text{integrando: }x^{n}\ln(x),\qquad n\neq 1,\qquad \ln(x)\text{ exige }x>0.
Não resolvo nada aqui ainda — só deixei claro o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Lembra da fórmula de integração por partes. Se escolhermos duas funções u e dv tais que u seja diferenciável e dv integrável, então vale
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui du é a derivada de u em relação a x vezes dx, e v é uma primitiva de dv (ou seja, \,dv = v'(x)\,dx e v satisfaz v' = dv/dx). Vou explicar cada escolha e cálculo devagarinho.

Passo 3

Escolha das partes (justificação simples): é comum, quando aparece \ln(x), tomar u=\ln(x) porque sua derivada simplifica bem; e deixar o resto em dv. Então escolho
u=\ln(x),\qquad dv = x^{n}\,dx.
Agora calculo du e v.
Derivada de \ln(x): \displaystyle du = \frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
Para v preciso integrar dv:
v=\int x^{n}\,dx.
A primitiva de x^{n} é \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}, desde que n\neq -1. Ou seja,
v=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad\text{(válido para }n\neq -1\text{)}.á
Observação importante: para aplicar essa expressão para v precisamos de n\neq -1. O enunciado disse n\neq 1; no entanto a fórmula intermediária exige n\neq -1. Vou continuar supondo n\neq -1 para a aplicação direta de integração por partes e, mais adiante, mostro o caso n=-1 separadamente.

Passo 4

Agora aplico a fórmula de integração por partes:
\int x^{n}\ln(x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du encontrados:
\int x^{n}\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1} - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplifico dentro da integral:
\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x^{n}}{n+1},
portanto
\int x^{n}\ln(x)\,dx = \frac{x^{n+1}\ln(x)}{n+1} - \frac{1}{n+1}\int x^{n}\,dx.

Passo 5

Agora preciso calcular \displaystyle \int x^{n}\,dx novamente. Como já usei antes,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad\text{(para }n\neq -1\text{)}.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\int x^{n}\ln(x)\,dx = \frac{x^{n+1}\ln(x)}{n+1} - \frac{1}{n+1}\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Faço uma simplificação algébrica final: fator comum x^{n+1} e simplifico as constantes:
\int x^{n}\ln(x)\,dx = \frac{x^{n+1}\ln(x)}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}} + C.
Também podemos escrever de forma factorizada:
\int x^{n}\ln(x)\,dx = \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}}\Big((n+1)\ln(x)-1\Big)+C.

Passo 7

Tratamento do caso especial n=-1 (já que a derivação acima usa n\neq -1). Se n=-1 temos a integral
\int x^{-1}\ln(x)\,dx = \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
Uma maneira direta é notar que a derivada de (\ln(x))^{2} é 2\frac{\ln(x)}{x}. Assim
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \frac{(\ln(x))^{2}}{2} + C.
Portanto o caso n=-1 dá essa primitiva diferente da fórmula anterior (que tem divisão por n+1).

Resposta

\int x^{n}\ln(x)\,dx = \frac{x^{n+1}\ln(x)}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}} + C\quad(n\neq -1)
\int x^{-1}\ln(x)\,dx = \frac{(\ln(x))^{2}}{2} + C

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