Use a integração por partes para obter uma solução geral para a integral abaixo:
Com n diferente de 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando integração por partes. Foi dado que
é diferente de
. Informação importante que extraí do enunciado:
Não resolvo nada aqui ainda — só deixei claro o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Lembra da fórmula de integração por partes. Se escolhermos duas funções
e
tais que
seja diferenciável e
integrável, então vale
Aqui
é a derivada de
em relação a
vezes
, e
é uma primitiva de
(ou seja,
e
satisfaz
). Vou explicar cada escolha e cálculo devagarinho.
Passo 3
Escolha das partes (justificação simples): é comum, quando aparece
, tomar
porque sua derivada simplifica bem; e deixar o resto em
. Então escolho
Agora calculo
e
.
Derivada de :
.
Para preciso integrar
:
Derivada de
Para
A primitiva de
é
, desde que
. Ou seja,
Observação importante: para aplicar essa expressão para
precisamos de
. O enunciado disse
; no entanto a fórmula intermediária exige
. Vou continuar supondo
para a aplicação direta de integração por partes e, mais adiante, mostro o caso
separadamente.
Passo 4
Agora aplico a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
encontrados:
Simplifico dentro da integral:
portanto
Passo 5
Agora preciso calcular
novamente. Como já usei antes,
Substituindo na expressão do passo anterior:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Faço uma simplificação algébrica final: fator comum
e simplifico as constantes:
Também podemos escrever de forma factorizada:
Passo 7
Tratamento do caso especial
(já que a derivação acima usa
). Se
temos a integral
Uma maneira direta é notar que a derivada de
é
. Assim
Portanto o caso
dá essa primitiva diferente da fórmula anterior (que tem divisão por
).