Calcule as integrais indefinidas abaixo, verifique sua resposta derivando a primitiva encontrada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
e verificar a resposta derivando a primitiva encontrada.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é
. - A função
está definida apenas para ; portanto, a primitiva que encontrarmos vale para . - Queremos uma primitiva
tal que , e devemos incluir a constante de integração .
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou te ensinar do zero como funciona. Parte da ideia vem da regra do produto para derivadas: se
e
são diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos
O lado esquerdo dá simplesmente
. Reorganizando, temos a fórmula de integração por partes:
Aqui
é uma função que escolhemos (depois derivamos) e
é a outra parte (que integramos para obter
). Em palavras: escolha
que simplifique quando derivada, e escolha
que seja fácil de integrar.
Passo 3
Escolha das peças para o nosso problema
: uma escolha natural é
Justificativa informal: derivar
simplifica (vira
), e integrar
é direto. Agora calculemos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes
, obtemos:
Substituindo
:
Simplificando o integrando da segunda integral:
Portanto
Agora integramos
:
Substituindo:
Multiplicando os fatores:
Passo 5
Escrevendo a primitiva de forma final e comentando o domínio: para
,
é uma primitiva de
. Lembre-se que o
é a constante de integração que pode ser qualquer número real.
Passo 6
Verificação: derivamos
para confirmar que
. Derivando termo a termo e usando a regra do produto:
Calcule a derivada de . Aplicando a regra do produto
com
e
:
Calcule a derivada de
Agora
e
. Então
Agora derivamos o segundo termo
:
Somando as derivadas:
Isso confirma que
é exatamente a integranda. Verificação concluída.