Calcule as integrais indefinidas abaixo, verifique sua resposta derivando a primitiva encontrada:
\int t^{2} \ln (t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int t^{2}\ln(t)\,dt e verificar a resposta derivando a primitiva encontrada.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é t^{2}\ln(t).
  • A função \ln(t) está definida apenas para t>0; portanto, a primitiva que encontrarmos vale para t>0.
  • Queremos uma primitiva F(t) tal que F'(t)=t^{2}\ln(t), e devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou te ensinar do zero como funciona. Parte da ideia vem da regra do produto para derivadas: se u(t) e v(t) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos
\int \frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)\,dt=\int u'(t)v(t)\,dt+\int u(t)v'(t)\,dt.
O lado esquerdo dá simplesmente u(t)v(t). Reorganizando, temos a fórmula de integração por partes:
\int u(t)v'(t)\,dt = u(t)v(t) - \int u'(t)v(t)\,dt.
Aqui u(t) é uma função que escolhemos (depois derivamos) e v'(t)\,dt é a outra parte (que integramos para obter v(t)). Em palavras: escolha u que simplifique quando derivada, e escolha v' que seja fácil de integrar.

Passo 3

Escolha das peças para o nosso problema \int t^{2}\ln(t)\,dt: uma escolha natural é
u(t)=\ln(t),\qquad v'(t)=t^{2}.
Justificativa informal: derivar \ln(t) simplifica (vira 1/t), e integrar t^{2} é direto. Agora calculemos u'(t) e v(t):
u'(t)=\frac{d}{dt}\ln(t)=\frac{1}{t},
v(t)=\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes \int u v' = u v - \int u' v, obtemos:
\int t^{2}\ln(t)\,dt = u(t)v(t) - \int u'(t)v(t)\,dt.
Substituindo u,v,u':
\int t^{2}\ln(t)\,dt = \ln(t)\cdot\frac{t^{3}}{3} - \int \frac{1}{t}\cdot\frac{t^{3}}{3}\,dt.
Simplificando o integrando da segunda integral:
\frac{1}{t}\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{t^{2}}{3}.
Portanto
\int t^{2}\ln(t)\,dt = \frac{t^{3}}{3}\ln(t) - \frac{1}{3}\int t^{2}\,dt.
Agora integramos \int t^{2}\,dt:
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.
Substituindo:
\int t^{2}\ln(t)\,dt = \frac{t^{3}}{3}\ln(t) - \frac{1}{3}\cdot\frac{t^{3}}{3} + C.
Multiplicando os fatores:
\int t^{2}\ln(t)\,dt = \frac{t^{3}}{3}\ln(t) - \frac{t^{3}}{9} + C.

Passo 5

Escrevendo a primitiva de forma final e comentando o domínio: para t>0,
F(t)=\frac{t^{3}}{3}\ln(t)-\frac{t^{3}}{9}+C
é uma primitiva de t^{2}\ln(t). Lembre-se que o +C é a constante de integração que pode ser qualquer número real.

Passo 6

Verificação: derivamos F(t) para confirmar que F'(t)=t^{2}\ln(t). Derivando termo a termo e usando a regra do produto:
Calcule a derivada de \frac{t^{3}}{3}\ln(t). Aplicando a regra do produto (fg)'=f'g+fg' com f(t)=\frac{t^{3}}{3} e g(t)=\ln(t):
\frac{d}{dt}\left(\frac{t^{3}}{3}\ln(t)\right)=\left(\frac{t^{3}}{3}\right)'\ln(t)+\frac{t^{3}}{3}\left(\ln(t)\right)'.
Agora \left(\frac{t^{3}}{3}\right)'=t^{2} e \left(\ln(t)\right)'=\frac{1}{t}. Então
\frac{d}{dt}\left(\frac{t^{3}}{3}\ln(t)\right)=t^{2}\ln(t)+\frac{t^{3}}{3}\cdot\frac{1}{t}=t^{2}\ln(t)+\frac{t^{2}}{3}.
Agora derivamos o segundo termo -\frac{t^{3}}{9}:
\frac{d}{dt}\left(-\frac{t^{3}}{9}\right)=-\frac{3t^{2}}{9}=-\frac{t^{2}}{3}.
Somando as derivadas:
F'(t)=\left(t^{2}\ln(t)+\frac{t^{2}}{3}\right)+\left(-\frac{t^{2}}{3}\right)=t^{2}\ln(t).
Isso confirma que F'(t) é exatamente a integranda. Verificação concluída.

Resposta

\displaystyle \frac{t^{3}}{3}\ln(t)-\frac{t^{3}}{9}+C

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