O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+2}{x^{2}+2x+2}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
O integrando é a função racional \dfrac{x+2}{x^{2}+2x+2}.
O numerador é um polinômio de grau 1 e o denominador é um polinômio quadrático (grau 2).
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) explícita, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x+2}{x^{2}+2x+2}.
Não vou resolver nada neste passo — só listei o que temos e o que se pede.
Passo 2
Estratégia inicial: como o numerador tem grau menor que o denominador, vamos usar decomposição algebraica simples para separar a integral em partes que conhecemos. Primeiro reescrevo o numerador de forma conveniente:
x+2 = \frac{1}{2}(2x+2) + 1.
Isso é verdade porque \frac{1}{2}(2x+2)=x+1 e (x+1)+1=x+2. Usando essa escrita, separamos a integral pela linearidade:
Note que a derivada do denominador x^{2}+2x+2 é 2x+2. Isso é útil porque temos a forma \dfrac{u'}{u}, cuja primitiva é \ln|u| (regra: se u=u(x) e u' é sua derivada, então \int \dfrac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C). Aplicando com u(x)=x^{2}+2x+2 obtemos
\int \frac{2x+2}{x^{2}+2x+2}\,dx = \ln\bigl|x^{2}+2x+2\bigr| + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que ficou fora, a contribuição dessa parte é
\frac{1}{2}\ln\bigl|x^{2}+2x+2\bigr|.
Observação útil: x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0 para todo x, então o valor dentro do \ln é sempre positivo; portanto podemos escrever \ln(x^{2}+2x+2) sem problema.
Passo 4
Calculo da segunda integral
\int \frac{1}{x^{2}+2x+2}\,dx.
Aqui convém completar o quadrado no denominador. Faço:
x^{2}+2x+2 = (x^{2}+2x+1)+1 = (x+1)^{2}+1.
Então a integral fica
\int \frac{1}{(x+1)^{2}+1}\,dx.
Fazemos a substituição simples u = x+1, logo du = dx. A integral transforma-se em
\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du,
cuja primitiva conhecida é \arctan(u) + C (regra: \dfrac{d}{du}\arctan u = \dfrac{1}{1+u^{2}}). Voltando à variável x,
\int \frac{1}{x^{2}+2x+2}\,dx = \arctan(x+1) + C.
Passo 5
Juntando as duas partes obtidas nos passos anteriores: a integral inicial é a soma das primitivas das duas integrais separadas. Portanto
\int \frac{x+2}{x^{2}+2x+2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr) + \arctan(x+1) + C.
Passo 6
Verificação rápida por derivação (útil para a prova): derivo a resposta para checar que volta ao integrando.
Derivando \frac{1}{2}\ln(x^{2}+2x+2) dá