5 Resolva a integral:
\int x \arctan x d x

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre uma primitiva (uma antiderivada) da função x\mapsto x\arctan x. Ou seja, calcular
\int x\arctan x\,dx.
Informações dadas: a variável de integração é x e o integrando é o produto de x por \arctan x. O resultado deve ser uma função F(x) tal que F'(x)=x\arctan x, mais uma constante de integração C.

Passo 2

A expressão é um produto de duas funções: x e \arctan x. Uma técnica padrão para integrar produtos é a fórmula de integração por partes. Vou escrever a fórmula e explicar direitinho:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (ficará mais simples quando derivada) e dv é a parte que integramos (outra parte que sabemos integrar). Depois calculamos du = u'\,dx e v=\int dv.
Escolha prática (motivo): escolher u=\arctan x porque sua derivada é simples: \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^2}. E escolho dv = x\,dx porque é fácil integrar x. Então:
u=\arctan x,\qquad dv=x\,dx.
Agora calculo du e v:
du = \frac{1}{1+x^2}\,dx,\qquad v=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplico a fórmula de integração por partes:
\int x\arctan x\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx.
Fatorando \tfrac{1}{2} na integral:
\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx.

Passo 4

Agora simplifico a fração dentro da integral. Uma técnica útil é decompor x^2 como (x^2+1)-1, porque isso simplifica ao dividir por 1+x^2:
\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{(x^2+1)-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}.
Portanto
\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx = \int\left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right)dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{1+x^2}\,dx.
As primitivas desses termos são fáceis:
\int 1\,dx = x,\qquad \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x.
Logo
\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx = x - \arctan x.

Passo 5

Volto à expressão do Passo 3 substituindo o resultado:
\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\bigl(x - \arctan x\bigr) + C.
Distribuindo o \tfrac{1}{2} e reunindo termos semelhantes (notando que temos dois termos com \arctan x):
\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\arctan x + C.
Agrupando os termos com \arctan x:
\int x\arctan x\,dx = \frac{1}{2}\bigl(x^2+1\bigr)\arctan x - \frac{x}{2} + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivo a resposta para checar se volta ao integrando.
Se F(x)=\dfrac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \dfrac{x}{2}, então usando regra do produto e derivada de \arctan x:
F'(x)=x\arctan x + \frac{1}{2}(x^2+1)\cdot\frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2}.
Mas \dfrac{1}{2}(x^2+1)\cdot\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{2}. Então
F'(x)=x\arctan x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = x\arctan x,
que é exatamente o integrando. Está correto.

Resposta

\frac{1}{2}\bigl(x^2+1\bigr)\arctan x - \frac{x}{2} + C

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