5 Resolva a integral:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre uma primitiva (uma antiderivada) da função
. Ou seja, calcular
Informações dadas: a variável de integração é
e o integrando é o produto de
por
. O resultado deve ser uma função
tal que
, mais uma constante de integração
.
Passo 2
A expressão é um produto de duas funções:
e
. Uma técnica padrão para integrar produtos é a fórmula de integração por partes. Vou escrever a fórmula e explicar direitinho:
A fórmula de integração por partes é
Aqui
é uma função que escolhemos para derivar (ficará mais simples quando derivada) e
é a parte que integramos (outra parte que sabemos integrar). Depois calculamos
e
.
Escolha prática (motivo): escolher
porque sua derivada é simples:
. E escolho
porque é fácil integrar
. Então:
Agora calculo
e
:
Passo 3
Aplico a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Fatorando
na integral:
Passo 4
Agora simplifico a fração dentro da integral. Uma técnica útil é decompor
como
, porque isso simplifica ao dividir por
:
Portanto
As primitivas desses termos são fáceis:
Logo
Passo 5
Volto à expressão do Passo 3 substituindo o resultado:
Distribuindo o
e reunindo termos semelhantes (notando que temos dois termos com
):
Agrupando os termos com
:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivo a resposta para checar se volta ao integrando.
Se , então usando regra do produto e derivada de
:
Se
Mas
. Então
que é exatamente o integrando. Está correto.