Resolva a integral a seguir:
integral sen x cdot sec ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin x cdot sec^3 x,dx. O conteúdo principal aqui é manipulação de funções trigonométricas e aplicação de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando identidades trigonométricas. Sabendo que sec x=1/cos x e tan x=sin x/cos x, temos:
sin xcdotsec^3 x=sin xcdot1cos^3 x=sin xcos xcdot1cos^2 x=tan xcdotsec^2 x

Passo 3

Para resolver integral tan x,sec^2 x,dx, usamos a substituição
u=tan xLongrightarrow du=sec^2 x,dx
Isso transforma a integral em
integral tan x,sec^2 x,dx=integral u,du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral u,du=u^22+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u=tan x:
u^22+C=tan^2 x2+C

Resposta

tan^2 x2+C

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