Seja y=y(t, y0) a solução correspondente à condição inicial y(0)=y0. Para quais valores de y0 tem-se lim t infty y(t, y0) finito?
y^prime=1-t^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para o EDO não-autônomo y'=1-t^2-y^2 com condição inicial y(0)=y0, descobrir para quais y0 temos limttoinftyy(t,y0) finito.

Passo 2

Para todo t>=1 vale t^2>=1, logo 1-t^2<=0 e também y^2>=0. Portanto
y'=1-t^2-y^2<=1-t^2<=0

Passo 3

Isto mostra que y(t) é uma função decrescente para t>=1. Agora, para t>=raiz2 temos t^2>=2 e, portanto:
y'=1-t^2-y^2<=1-t^2<=-1

Passo 4

Integramos de t=raiz2 até t:
y(t)-y(raiz2)=integralraiz2^t y'(tau),dtau<=integralraiz2^t(-1),dtau=-(t-raiz2),

Passo 5

o que implica
y(t)<= y(raiz2)-(t-raiz2)

Passo 6

Como o segundo membro tende a -infty quando ttoinfty, concluímos que y(t)to-infty para qualquer y0.

Resposta

Não existe valor de y0 real que torne limttoinftyy(t,y0) finito; para todo y0 a solução diverge para -infty.

Exercícios relacionados