Resolva os itens a), b) e c) abaixo:
a) Considere as funções
. Mostre que elas são ortonormais como funções em
, ou seja,
b) Mostre que se
f in L^2(0, l) , então
f=sumn=0^inftylang<= f, phinrang<= phin
equivale a expansão de série de Fourier em cosseno. (Substitua
lang<= f, phinrang<= pela integral e
phin pelas funções acima e verifique que a somatória acima é exatamente igual a expansão em cosseno).
c) Ache a série de Fourier da função
f:[-pi, pi] C dada abaixo:
f(theta)=c -1, theta in[-pi, 0] 1, theta in] 0, pi]
Usando a Fórmula de Parseval e a expressão obtida, mostre que
sumn=1^infty 1(2 n-1)^2=pi^28 .
a) Considere as funções
c) Ache a série de Fourier da função
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo.
Temos em (a) o conjunto de funções
Temos em (a) o conjunto de funções
definidas em
e reconhecer que é a série de Fourier em cossenos.
Em (c) pegamos a função de quadrado de sinal
Em (c) pegamos a função de quadrado de sinal
determinamos sua série de Fourier em
Passo 2
Ortonormalidade de
Então, com o fator ,
Passo 3
Ortonormalidade envolvendo
phi0 .
Calculamos
Calculamos
pois
integral0^lcos(npi x/l),dx=0 . Logo
lang<=phi0,phinrang<==0 .
Passo 4
Expansão de
fin L^2(0,l) na base
phin .
Pela ortonormalidade,
Pela ortonormalidade,
Escrevendo
lang<= f,phinrang<==integral0^l f(x)phin(x),dx e substituindo
phin , obtemos
que é exatamente a série de Fourier em cossenos com coeficientes padrão.
Passo 5
Série de Fourier de
f(theta) em
[-pi,pi] .
Observamos quef é função ímpar, logo só aparecem termos em seno:
Observamos que
Isso anula todos os
n pares e, para
n=2k-1 ímpar,
Assim
Passo 6
Aplicação de Parseval para obter
sum1/(2n-1)^2 .
A identidade de Parseval em[-pi,pi] diz
A identidade de Parseval em
Aqui
a0=an=0 e
f(theta)^2=1 , logo
Mas
bnneq0 só para
n=2k-1 , quando
b2k-1=4/[pi(2k-1)] . Assim
Resposta
a)
lang<=phin,phimrang<==de<anm .
b)f(x)=sumn=0^inftylang<= f,phinrang<=phin(x) , que coincide com a série de Fourier em cossenos.
c)
b)
c)
e