Resolva os itens a), b) e c) abaixo:
a) Considere as funções phin(x)=raiz2l cos (n pi xl), n >= 1 cupphi0(x)=raiz1l. Mostre que elas são ortonormais como funções em L^2(0, l), ou seja,
lang<=phin, phimrang<==integral0^pi phin(x) phim(x) d x=de<an m:=l 1, se n=m 0, se n neq m
b) Mostre que se f in L^2(0, l), então
f=sumn=0^inftylang<= f, phinrang<= phin
equivale a expansão de série de Fourier em cosseno. (Substitua lang<= f, phinrang<= pela integral e phin pelas funções acima e verifique que a somatória acima é exatamente igual a expansão em cosseno).
c) Ache a série de Fourier da função f:[-pi, pi] C dada abaixo:
f(theta)=c -1, theta in[-pi, 0] 1, theta in] 0, pi]
Usando a Fórmula de Parseval e a expressão obtida, mostre que sumn=1^infty 1(2 n-1)^2=pi^28.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo.
Temos em (a) o conjunto de funções
definidas em
e reconhecer que é a série de Fourier em cossenos.
Em (c) pegamos a função de quadrado de sinal
determinamos sua série de Fourier em

Passo 2

Ortonormalidade de
Então, com o fator ,

Passo 3

Ortonormalidade envolvendo phi0.
Calculamos
lang<=phi0,phi0rang<= =integral0^l1l,dx=1, lang<=phi0,phinrang<= =raiztfrac1lraiztfrac2l integral0^lcosl(tfracnpi xlr),dx =0(n>=1),
pois integral0^lcos(npi x/l),dx=0. Logo lang<=phi0,phinrang<==0.

Passo 4

Expansão de fin L^2(0,l) na base phin.
Pela ortonormalidade,
f(x)=sumn=0^inftylang<= f,phinrang<=,phin(x)
Escrevendo lang<= f,phinrang<==integral0^l f(x)phin(x),dx e substituindo phin, obtemos
f(x) =1raiz ll(integral0^l f(x),dxr) +sumn=1^inftyraiztfrac2ll(integral0^l f(x)costfracnpi xl,dxr) cos!l(tfracnpi xlr),
que é exatamente a série de Fourier em cossenos com coeficientes padrão.

Passo 5

Série de Fourier de f(theta) em [-pi,pi].
Observamos que f é função ímpar, logo só aparecem termos em seno:
bn=1piintegral-pi^pi f(theta)sin(ntheta),dtheta =2piintegral0^pisin(ntheta),dtheta =2pi1-(-1)^nn
Isso anula todos os n pares e, para n=2k-1 ímpar,
b2k-1=4pi(2k-1)
Assim
f(theta) =sumk=1^infty4pi(2k-1), sinl((2k-1)thetar)

Passo 6

Aplicação de Parseval para obter sum1/(2n-1)^2.
A identidade de Parseval em [-pi,pi] diz
a0^22+sumn=1^inftyl(an^2+bn^2r) =1piintegral-pi^pif(theta)^2,dtheta
Aqui a0=an=0 e f(theta)^2=1, logo
sumn=1^infty bn^2 =1piintegral-pi^pi1,dtheta =2
Mas bnneq0 só para n=2k-1, quando b2k-1=4/[pi(2k-1)]. Assim
sumk=1^inftyl(4pi(2k-1)r)^2 =2 Longrightarrow sumk=1^infty1(2k-1)^2 =pi^28

Resposta

a) lang<=phin,phimrang<==de<anm.
b) f(x)=sumn=0^inftylang<= f,phinrang<=phin(x), que coincide com a série de Fourier em cossenos.
c)
f(theta) =sumk=1^infty4pi(2k-1)sinl((2k-1)thetar),
e
sumn=1^infty1(2n-1)^2 =pi^28

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